ANALISIS REAL I RINA AGUSTINA, M. Pd.

DEFINISI 4.2.3 Misalkan 𝐴⊆𝑅 dan f, g fungsi yang terdefinisi pada A ke R. Penjumlahan f + g, selisih f – g,dan perkalian f.g pada A ke R didefinisikan sebagai fungsi:

(f + g) (x) = f(x) +g(x) (f – g) (x) = f(x) – g(x) (f. g) (x) = f(x) (f + g) (x) = f(x) +g(x) (f – g) (x) = f(x) – g(x) (f.g) (x) = f(x). g(x) Untuk ∀𝑥∈𝐴. Lebih lanjut, jika b∈𝑅, didefinisikan perkalian b.f sebagai (bf)(x) = b.f(x), ∀𝑥∈𝐴

Jika h(x) ≠ 0, 𝑥∈𝐴, didefinisikan pembagian 𝑓 ℎ dengan: 𝑓 ℎ 𝑥 = 𝑓(𝑥) ℎ(𝑥) ,∀𝑥∈𝐴

TEOREMA 4.2.4 Misalkan 𝐴⊆𝑅 dan f, g fungsi yang terdefinisi pada A ke R. dan misalkan c ∈ R adalah titik limit dari A. lebih lanjut, misalkan b ∈ R

(a) Jika lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) =𝐿 dan lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) =𝑀, maka: lim 𝑥→𝑐 (𝑓+𝑔)(𝑥) =𝐿+𝑀 lim 𝑥→𝑐 (𝑓−𝑔)(𝑥) =𝐿−𝑀 lim 𝑥→𝑐 (𝑓𝑔)(𝑥) =𝐿𝑀 lim 𝑥→𝑐 (𝑏𝑓)(𝑥) =𝑏𝐿

(b) Jika h:A→𝑅, ℎ 𝑥 ≠0,∀𝑥∈𝐴 dan jika lim 𝑥→𝑐 ℎ(𝑥) =𝐻≠0 maka: lim 𝑥→𝑐 ( 𝑓 ℎ )(𝑥) = 𝐿 𝐻

DEFINISI 4.2.9 Limit Tak Hingga Misalkan 𝐴⊆𝑅, f:A→𝑅 dan c titik limit dari A. (a) Fungsi f dikatakan menuju ke +∞,𝑥→𝑐, dan ditulis lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = +∞, jika ∀𝛼∈𝑅 ∃𝛿=𝛿 𝛼 >0∋𝑥∈𝐴, 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 >𝛼

(b) Fungsi f dikatakan menuju ke −∞,𝑥→𝑐, dan ditulis lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = −∞, jika ∀𝛽∈𝑅 ∃𝛿=𝛿 𝛽 >0∋𝑥∈𝐴, 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 <𝛽

CONTOH: (a) lim 𝑥→0 ( 1 𝑥 2 ) =+∞ Jika diberikan 𝛼>0,ambil 𝛿= 𝛼 Akibatnya untuk 0< 𝑥−0 <𝛿 berlaku 𝑥 <𝛿= 𝛼 𝑥 2 <𝛼 atau 1 𝑥 2 >𝛼

TEOREMA 4.2.11 Misalkan 𝐴⊆𝑅, f: A →𝑅 dan c ∈𝑅 titik limit dari A. Jika f(x) ≤ g(x), ∀𝑥∈𝐴,𝑥≠𝑐 Jika lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) =+∞, maka lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) =+∞ Jika lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) =−∞, maka lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =−∞

DEFINISI 4.2.12 Misalkan 𝐴⊆𝑅, f: A →𝑅 (a) Misalkan (𝛼,+∞), 𝛼∈𝑅. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L apabila 𝑥→+∞ dan ditulis lim 𝑛→+∞ 𝑓(𝑥) =𝐿, ∀𝜀>0 ∃𝐾=𝐾 𝜀 >𝛼∋ ∀𝑥>K memenuhi 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜖

(b) Misalkan (−∞,𝑏), 𝑏∈𝑅. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L apabila 𝑥→−∞ dan ditulis lim 𝑛→−∞ 𝑓(𝑥) =𝐿, ∀𝜀>0 ∃𝐾=𝐾 𝜀 <𝑏 ∋ ∀𝑥<K memenuhi 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜖

TEOREMA 4.2.13 Kedua pernyataan berikut ekuivalen: lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) =𝐿 Misalkan 𝐴⊆𝑅, f: A →𝑅 dan(𝑎,∞) ⊆A, a∈𝑅 Kedua pernyataan berikut ekuivalen: lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) =𝐿 untuk setiap barisan ( 𝑥 𝑛 )di dalam 𝐴∩ 𝑎,+∞ ∋ lim 𝑛→∞ ( 𝑥 𝑛 ) =+∞ berakibat f( 𝑥 𝑛 ) konvergen ke L

soal: Tunjukkan bahwa lim 𝑥→∞ 1 𝑥−2 =0 ! BUKTI: Ambil sebarang 𝜀>0, pilih 𝐾= 1+2𝜀 𝜀

Analisis pendahuluan: Jika 𝑥>𝑘 , haruslah : 𝑥>𝑘 𝑥−2>𝑘−2 1 𝑥−2 < 1 𝑘−2 1 𝑥−2 = 1 𝑥−2 < 1 𝑘−2 <𝜀

𝑘−2> 1 𝜀 𝑘>2+ 1 𝜀 Jika 𝑥>𝑘, maka : 1 𝑥−2 −0 = 1 𝑥−2 = 1 𝑥−2 < 1 𝑘−2 < 1 1+2𝜀 𝜀 −2 <𝜀 ∴ lim 𝑛→∞ 1 𝑥−2 =0

SOAL: Buktikan bahwa lim 𝑥→𝑐 𝑓 =+∞ ↔ lim 𝑥→𝑐 1 𝑓 =0 !

BUKTI: (i) Akan dibuktikan : lim 𝑥→𝑐 𝑓 =+∞ → lim 𝑥→𝑐 1 𝑓 =0 Bukti: c ∈𝑅 pada (c, ∞) dan lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) =∞

Berdasarkan definisi: lim 𝑥→𝑐 𝑓 =+∞, ∀𝛼∈𝑅∃𝛿=𝛿 𝛼 >0∋𝑥∈𝐴 dengan 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 >𝛼

Jika diberikan 𝛼 = 1 𝜀 , ambil 𝛿=𝛼 akibatnya untuk 0< 𝑥 <𝛿 berlaku x < 𝛼, berdasarkan definisi f(x) > 𝛼 maka 1 𝑓(𝑥) < 1 𝛼

Sehingga diperoleh: 1 𝑓(𝑥) −0 = 1 𝑓(𝑥) < 1 𝛼 < 1 1 𝜀 =𝜀 Jadi terbukti: lim 𝑥→𝑐 𝑓 =∞ → lim 𝑥→𝑐 1 𝑓 =0

(ii) Akan dibuktikan : lim 𝑥→𝑐 1 𝑓 =0 → lim 𝑥→𝑐 𝑓 =∞ Diberikan sebarang 𝜀>0, pilih δ = 1 𝜀 Karena lim 𝑥→𝑐 1 𝑓 =0 , berarti ∃𝛿>0∋𝑥∈𝐴, 0< 𝑥−𝑐 <𝛿, 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜀

Selanjutnya, berdasarkan definisi limit tak hingga, f dikatakan menuju +∞, jika ∀𝛼∈𝑅 ∃𝛿=𝛿 𝛼 >0∋𝑥∈𝐴, 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 berlaku 𝑓 𝑥 >𝛼

Sehingga diperoleh: 1 𝑓(𝑥) −0 <𝜀 1 𝑓(𝑥) <𝜀 1 𝑓(𝑥) <𝜀

𝑓 𝑥 > 1 𝜀 > 𝛿 𝑓 𝑥 > 𝛿(𝛼), 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖 𝛿= 𝛿(𝛼) f(x) > 𝛼 Sehingga terbukti: lim 𝑥→𝑐 1 𝑓 =0 → lim 𝑥→𝑐 𝑓 =+∞