MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Ruang Hasil Kali Dalam 6

Sub Pokok Bahasan Aplikasi RHD Definisi Ruang Hasilkali Dalam Himpunan Orthonormal Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD Metode Optimasi seperti metode least square dalam peminimumam error dalam berbagai bidang rekayasa 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Definisi RHD Misal 𝑉 adalah suatu ruang vector dan 𝑢 , 𝑣 ∈𝑉 maka notasi < 𝑢 , 𝑣 > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: 1 < 𝑢 , 𝑣 > = < 𝑣 , 𝑢 > SIMETRIS 2. < 𝑢 + 𝑣 , 𝑤 > =< 𝑢 , 𝑤 >+< 𝑣 , 𝑤 > ADITIVITAS 3. Untuk suatu 𝑘∈𝑅, <𝑘 𝑢 , 𝑣 > =< 𝑢 ,𝑘 𝑣 > =𝑘< 𝑢 , 𝑣 > HOMOGENITAS 4. < 𝑢 , 𝑢 > ≥0, untuk setiap 𝑢 dan < 𝑢 , 𝑢 >=0↔ 𝑢 = 0 POSITIVITAS 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Ruang Hasil Kali Dalam Suatu ruang vector yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut Ruang Hasil Kali Dalam Jika 𝑉 merupakan suatu ruang hasil kali dalam maka norm (panjang) sebuah vector didefinisikan 𝑢 =< 𝑢 , 𝑢 > 1/2 ≥0 Contoh 1: Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( 𝑅 𝑛 ) Misalkan 𝑢 , 𝑣 ∈ 𝑅 𝑛 maka 𝑢 =< 𝑢 , 𝑢 > 1/2 = 𝑢 1 2 + 𝑢 2 2 + …+ 𝑢 𝑛 2 1/2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 2: Misalkan 𝑊⊆ 𝑅 3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali < 𝑢 , 𝑣 > =2 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑣 3 , dimana 𝑢 , 𝑣 ∈𝑊. Buktikan bahwa 𝑊 adalah ruang hasilkali dalam Jawab: Misalkan 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ∈𝑊 1 < 𝑢 , 𝑣 > =2 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑣 3 =2 𝑣 1 𝑢 1 + 𝑣 2 𝑢 2 +3 𝑣 3 𝑢 3 = < 𝑣 , 𝑢 > TERBUKTI SIMETRI 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

=< 𝑢 , 𝑤 >+< 𝑣 , 𝑤 > TERBUKTI BERSIFAT ADITIVITAS 3 2 < 𝑢 + 𝑣 , 𝑤 > = <( 𝑢 1 + 𝑣 1 , 𝑢 2 + 𝑣 2 , 𝑢 3 + 𝑣 3 ),( 𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 ) > =2 𝑢 1 + 𝑣 1 𝑤 1 + (𝑢 2 + 𝑣 2 ) 𝑤 2 +3 𝑢 3 + 𝑣 3 𝑤 3 =2 𝑢 1 𝑤 1 +2 𝑣 1 𝑤 1 + 𝑢 2 𝑤 2 + 𝑣 2 𝑤 2 +3 𝑢 3 𝑤 3 +3 𝑣 3 𝑤 3 =2 𝑢 1 𝑤 1 + 𝑢 2 𝑤 2 +3 𝑢 3 𝑤 3 +2 𝑣 1 𝑤 1 + 𝑣 2 𝑤 2 +3 𝑣 3 𝑤 3 =< 𝑢 , 𝑤 >+< 𝑣 , 𝑤 > TERBUKTI BERSIFAT ADITIVITAS 3 Untuk suatu 𝑘∈𝑅 <𝑘 𝑢 , 𝑣 > = < 𝑘 𝑢 1 ,𝑘 𝑢 2 ,𝑘 𝑢 3 ,( 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 )> =2𝑘 𝑢 1 𝑣 1 +𝑘 𝑢 2 𝑣 2 +3𝑘 𝑢 3 𝑣 3 =𝑘 2 𝑢 1 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑣 3 =2 𝑢 1 𝑘 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑘𝑣 2 +3 𝑢 3 𝑘 𝑣 3 =𝑘< 𝑢 , v > = < 𝑢 ,𝑘 v >TERBUKTI BERSIFAT HOMOGENITAS 4 < 𝑢 , 𝑢 > = 2 𝑢 1 𝑢 1 + 𝑢 2 𝑢 2 +3 𝑢 3 𝑢 3 =2 𝑢 1 2 + 𝑢 2 2 +3 𝑢 3 2 Jelas bahwa< 𝑢 , 𝑢 > ≥0 untuk setiap 𝑢 dan < 𝑢 , 𝑢 > =0 hanya jika 𝑢 = 0 TERBUKTI BERSIFAT POSITIVITAS 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Buktikan bahwa 𝑊 adalah bukan ruang hasilkali dalam Jawab: Contoh 3: Misalkan 𝑊⊆ 𝑅 3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 𝑣 1 + 2𝑢 2 𝑣 2 −3 𝑢 3 𝑣 3 , dimana 𝑢 , 𝑣 ∈𝑊. Buktikan bahwa 𝑊 adalah bukan ruang hasilkali dalam Jawab: Perhatikan bahwa < 𝑢 , 𝑢 > = 𝑢 1 𝑢 1 + 2𝑢 2 𝑢 2 −3 𝑢 3 𝑢 3 = 𝑢 1 2 + 2𝑢 2 2 −3 𝑢 3 2 Jika 3 𝑢 3 2 > 𝑢 1 2 +2 𝑢 2 2 maka < 𝑢 , 𝑢 > ≤0. TIDAK MEMENUHI SIFAT POSITIVITAS 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 4: Diketahui < 𝑢 , 𝑣 > =𝑎𝑑+𝑐𝑓, dimana 𝑢 =(𝑎,𝑏,𝑐) dan 𝑣 = 𝑑,𝑒,𝑓 . Apakah < 𝑢 , 𝑣 > merupakan hasil kali dalam? Jawab: Jelas bahwa < 𝑢 , 𝑢 > = 𝑎 2 + 𝑐 2 ≥0 Misalkan 𝑢 =(0,2,0) diperoleh < 𝑢 , 𝑢 > =0. Padahal 𝑢 ≠ 0 (Aksioma terakhir tidak terpenuhi) Jadi, < 𝑢 , 𝑣 > =𝑎𝑑+𝑐𝑓 bukan merupakan hasil kali dalam 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vector pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal Jika semua pasangan vector yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah orthogonal (saling tegak lurus). Himpunan ortonormal → himpunan orthogonal yang setiap vectornya memiliki panjang (normnya) satu. 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

#SecaraOperasional Misalkan, 𝑇={ 𝑐 1 , 𝑐 2 , …, 𝑐 𝑛 } pada suatu RHD 𝑇 dikatakan himpunan vector orthogonal jika < 𝑐 𝑖 , 𝑐 𝑗 > =0 untuk setiap 𝑖≠𝑗 Sedangkan, 𝑇 dikatakan himpunan vector orthonormal jika untuk setiap 𝑖 berlaku 𝑐 𝑖 =1 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

𝐴= 1 0 , −1 0 Pada RHD Euclides, 𝐴 bukan himpunan ortogonal Contoh 5: 𝐴= 1 0 , −1 0 Pada RHD Euclides, 𝐴 bukan himpunan ortogonal 𝐵= 1 0 , 0 −1 Pada RHD Euclides, 𝐵 merupakan himpunan orthonormal 𝐶= 1 2 1 2 , − 1 2 1 2 Pada RHD Euclides, 𝐶 merupakan himpunan orthonormal 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Perhatikan bahwa, untuk suatu 𝑖 berlaku: Misalkan 𝑆={ 𝑣 1 , 𝑣 2 , …, 𝑣 𝑛 } adalah basis orthonormal untuk RHD 𝑉. Jika 𝑢 adalah sembarang vector pada 𝑉, maka 𝑢 = 𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +…+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 Perhatikan bahwa, untuk suatu 𝑖 berlaku: < 𝑢 , 𝑣 𝑖 > = <𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +…+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 , 𝑣 𝑖 > = 𝑘 1 < 𝑣 1 , 𝑣 𝑖 >+ 𝑘 2 < 𝑣 2 , 𝑣 𝑖 >+…+ 𝑘 𝑖 < 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 >+…+ 𝑘 𝑛 < 𝑣 𝑛 , 𝑣 𝑖 > Karena 𝑆 merupakan himpunan orthonormal maka < 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 > =0 untuk setiap 𝑖≠𝑗 dan < 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 > =1 untuk setiap 𝑖 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Sehingga untuk setiap 𝑖 berlaku < 𝑢 , 𝑣 𝑖 > = 𝑘 𝑖 Kombinasi linear 𝑢 = 𝑘 1 𝑣 1 + 𝑘 2 𝑣 2 +…+ 𝑘 𝑛 𝑣 𝑛 Ditulis menjadi 𝑢 =< 𝑢 , 𝑣 1 > 𝑣 1 +< 𝑢 , 𝑣 2 > 𝑣 2 +…+< 𝑢 , 𝑣 𝑛 > 𝑣 𝑛 Contoh 6: Tentukan kombinasi linear dari 𝑎 = 1 2 pada RHD Euclides berupa bidang yang dibangun 𝑢 = 1/ 2 1/ 2 dan 𝑣 = 1/ 2 −1/ 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jawab: 𝑎 = 𝑘 1 𝑢 + 𝑘 2 𝑣 𝑎 =< 𝑎 , 𝑢 > 𝑢 +< 𝑎 , 𝑣 > 𝑣 𝑎 = 1 2 =< 1 2 , 1/ 2 1/ 2 > 𝑢 +< 1 2 , 1/ 2 −1/ 2 > 1/ 2 −1/ 2 𝑣 𝑎 = 3 2 𝑢 +(− 1 2 ) 𝑣 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Proses Gramm- Schmidth Basis bagi Suatu RHD V 𝑆= 𝑐 1 , 𝑐 2 ,…, 𝑐 𝑛 Basis Orthonormal bagi V 𝐵= 𝑤 1 , 𝑤 2 ,…, 𝑤 𝑛 Langkah yang dilakukan : 1. 𝑤 1 = 𝑐 1 | 𝑐 1 | 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

2. Langkah kedua 𝑐 2 → 𝑤 2 Karena 𝑝 1 =𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑤 1 𝑐 2 =< 𝑐 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 dan 𝑞 1 = 𝑐 2 − 𝑝 1 maka 𝑤 2 = 𝑐 2 −< 𝑐 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 | 𝑐 2 −< 𝑐 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 | 𝑐 2 𝑞 1 𝑤 2 𝑤 1 𝑝 1 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

3. Langkah ketiga 𝑐 3 → 𝑤 3 𝑝 2 =𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑐 3 =< 𝑐 3 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑐 3 , 𝑤 2 > 𝑤 2 dan 𝑞 2 = 𝑐 3 − 𝑝 2 maka 𝑤 3 = 𝑐 3 −< 𝑐 3 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑐 3 , 𝑤 2 > 𝑤 2 | 𝑐 3 −< 𝑐 3 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑐 3 , 𝑤 2 > 𝑤 2 | W 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 7: Diketahui: 𝐵= 𝑢 1 = 1 1 1 , 𝑢 2 = 0 1 1 , 𝑢 3 = 0 0 1 𝐵 merupakan basis pada RHD Euclides di 𝑅 3 . Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal Jawab: Langkah 1. 𝑣 1 = 𝑢 1 | 𝑢 1 | = (1,1,1) 3 = 1 3 , 1 3 , 1 3 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Langkah 2. 𝑣 2 = 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 | 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 | Karena 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 = 𝑢 2 − < 𝑢 2 , 𝑣 1 > 𝑣 1 = 0,1,1 − 2 3 ( 1 3 . 1 3 , 1 3 ) Maka 𝑢 2 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑣 1 𝑢 2 = 2 3 2 + 1 3 2 + 1 3 2 = 4 9 + 1 9 + 1 9 = 6 3 Sehingga 𝑣 2 = − 2 6 , 1 6 , 1 6 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Langkah 3. 𝑣 3 = 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 | 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 | Karena 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 = 𝑢 3 − < 𝑢 3 , 𝑣 1 > 𝑣 1 − < 𝑢 3 , 𝑣 2 > 𝑣 2 = 0,0,1 − 1 3 1 3 . 1 3 , 1 3 − 1 6 (− 2 6 . 1 6 , 1 6 ) =(0,− 1 2 , 1 2 ) Maka 𝑢 3 −𝑝𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 3 = 0 2 + − 1 2 2 + 1 2 2 = 0+ 1 4 + 1 4 = 1 2 Sehingga 𝑣 3 = 0,− 1 2 , 1 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jadi 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 = 1 3 1 3 1 3 , − 2 6 1 6 1 6 , 0 − 1 2 1 2 Merupakan basis orthonormal untuk ruang vector 𝑅 3 dengan hasil kali dalam Euclides. 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Contoh 8: Diketahui bidang yang dibangun oleh 1 0 1 , 0 1 1 merupakan subruang dari RHD Euclides di 𝑅 3 . Tentukan proyeksi orthogonal dari vector 𝑢 = 1 1 1 pada bidang tersebut. 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jawab: Diketahui 𝑣 1 = 1 0 1 , 𝑣 2 0 1 1 Merupakan basis bagi subruang pada RHD tersebut. Karena { 𝑣 1 , 𝑣 2 } selain membangun subruang pada RHD himpunan tersebut juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan) Langkah 1. 𝑤 1 = 𝑣 1 | 𝑣 1 | = (1,0,1) 1 2 + 0 2 + 1 2 = (1,0,1) 2 = 1 2 ,0, 1 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Perhatikan bahwa: < 𝑣 2 , 𝑤 1 > = < 0,1,1 1 2 , 0, 1 2 > =0+0+ 1 2 = 1 2 Sehingga < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = 1 2 1 2 , 0, 1 2 =( 1 2 , 0 , 1 2 ) 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = 0,1,1 − 1 2 , 0, 1 2 =(− 1 2 ,1 , 1 2 ) Akibatnya: 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = − 1 2 2 + 1 2 + 1 2 2 = 1 4 +1+ 1 4 = 6 4 = 1 2 6 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Akibatnya, diperoleh 𝑤 2 = 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 𝑣 2 < 𝑣 2 , 𝑤 1 > 𝑤 1 = (− 1 2 ,1 , 1 2 ) 1 2 6 = − 1 6 , 2 6 , 1 6 Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tersebut adalah 1 2 0 1 2 , − 1 6 2 6 1 6 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Proyeksi Orthogonal Vektor 𝑢 = 1 1 1 𝑢 = 1 1 1 Pada bidang tersebut adalah 𝑃𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 =< 𝑢 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑢 , 𝑤 2 > 𝑤 2 Perhatikan bahwa: < 𝑢 , 𝑤 1 > = < 1,1,1 1 2 , 0 , 1 2 > = 1 2 +0+ 1 2 = 2 2 = 2 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Sementara itu: < 𝑢 , 𝑤 2 > = < 1,1,1 − 1 6 , 2 6 , 1 6 > =− 1 6 + 2 6 + 1 6 = 2 6 Dengan demikian 𝑃𝑟𝑜 𝑗 𝑊 𝑢 =< 𝑢 , 𝑤 1 > 𝑤 1 +< 𝑢 , 𝑤 2 > 𝑤 2 = 1,0,1 + − 1 3 , 2 3 , 1 3 =( 2 3 , 2 3 , 4 3 ) 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

LATIHAN Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 2 𝑣 1 + 𝑢 2 𝑣 2 2 di 𝑅 2 < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 𝑣 1 +2 𝑢 2 𝑣 2 − 𝑢 3 𝑣 3 di 𝑅 3 < 𝑢 , 𝑣 > = 𝑢 1 2 𝑣 3 + 𝑢 2 𝑣 2 + 𝑢 3 𝑣 1 di 𝑅 3 Tentukan nilai 𝑘 sehingga vector (𝑘,𝑘,1) dan vector (𝑘,5,6) adalah orthogonal dalam ruang Euclides! 𝑊 merupakan subruang RHD Euclides di 𝑅 3 yang dibangun oleh vector 1 1 0 𝑑𝑎𝑛 1 0 −1 Tentukan proyeksi orthogonal vector −1 1 2 pada W 9/19/2018 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR