ANALISIS REAL I RINA AGUSTINA, M. Pd.

DEFINISI 4.1.4 Misalkan 𝐴⊆𝑅, f: A →𝑅 dan c titik limit dari A. Bilangan real L dikatakan limit dari f dititik c jika diberikan sebarang 𝜀>0,∃𝛿=𝛿(𝜀,𝑐)∋∀𝑥∈𝐴 dengan 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 berlaku: 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜀

Dapat juga dikatakan bahwa jika L adalah limit dari f dititik c, maka dikatakan f konvergen ke L di titik c, dan biasa ditulis: 𝐿= lim 𝑥→𝑐 𝑓 atau 𝐿= lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)

TEOREMA 4.1.5 Jika 𝑓:𝐴→𝑅 dan c adalah titik limit dari A, maka f hanya dapat mempunyai satu limit di c.

BUKTI: Misalkan L’ dan L” limit dari f di c. Cukup dibuktikan bahwa L’ = L”. Diberikan sebarang 𝜀>0,∃ 𝛿 ′ >0∋∀𝑥∈𝐴 dengan 0< 𝑥−𝑐 <𝛿′ berlaku: 𝑓 𝑥 −𝐿′ < 𝜀 2

juga ∃ 𝛿 ′′ >0∋∀𝑥∈𝐴 dengan 0< 𝑥−𝑐 <𝛿′′ berlaku: 𝑓 𝑥 −𝐿′′ < 𝜀 2 Pilih 𝛿 = min 𝛿 ′ ,𝛿" , maka ∋∀𝑥∈𝐴 dengan 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 berlaku: 𝐿′−𝐿′′ ≤ 𝐿 ′ −𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥 −𝐿" < 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀. Sehingga L’ = L”

TEOREMA 4.1.7 Kriteria Barisan untuk Limit Misalkan 𝑓:𝐴→𝑅 dan c adalah titik limit dari A, maka pernyataan berikut ekuivalen: 𝐿= lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 𝑛 , didalam A yang konvergen ke c dengan 𝑥 𝑛 ≠𝑐,∀𝑛∈𝑁, maka barisan (f(x)) konvergen ke L.

BUKTI: (a) → 𝑏 Diasumsikan bahwa f mempunyai limit L di c, dan misalkan ( 𝑥 𝑛 ) sebarang barisan di dalam A dengan lim 𝑛→∞ ( 𝑥 𝑛 ) =𝑐 dan 𝑥 𝑛 ≠𝑐,∀𝑛∈𝑁. Akan dibuktikan bahwa barisan (f( 𝑥 𝑛 )) konvergen ke L.

Diberikan sebarang 𝜀>0. Dari definisi limit fungsi, ∃𝛿>0, jika 𝑥∈𝐴 memenuhi 0< 𝑥−𝑐 <𝛿, maka: 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜀 Dari definisi barisan konvergen, maka untuk 𝛿>0 diatas ∃ 𝑘∈𝑁, 𝐾=𝐾(𝛿)∋∀𝑛≥𝐾 berlaku 𝑥 𝑛 −𝑐 <𝛿

Tetapi ∀ 𝑥 𝑛 yang demikian diperoleh 𝑓 𝑥 𝑛 −𝐿 <𝜀 Tetapi ∀ 𝑥 𝑛 yang demikian diperoleh 𝑓 𝑥 𝑛 −𝐿 <𝜀. Jadi jika 𝑛≥𝐾 berlaku 𝑓 𝑥 𝑛 −𝐿 <𝜀. Dengan kata lain, barisan 𝑓 𝑥 𝑛 konvergen ke L.

(𝑏)→(𝑎) Sebaliknya akan dibuktikan bentuk kontraposisinya. Misalkan (a) tidak benar, maka ∃ 𝜀 0 >0∋∀𝛿>0, akan terdapat sedikitnya satu titik 𝑥 𝛿 ∈𝐴 dengan 0< 𝑥 𝛿 −𝑐 <𝛿

Sehingga 𝑓 𝑥 𝛿 −𝐿 ≥ 𝜀 0 . Oleh karena itu, ∀𝑛∈𝑁, ∃ 𝑥 𝑛 ∈𝐴 sehingga: 0< 𝑥 𝑛 −𝑐 < 1 𝑛 Tetapi, 𝑓 𝑥 𝑛 −𝐿 ≥ 𝜀 0 ,∀𝑛∈𝑁

Jadi, terdapat barisan ( 𝑥 𝑛 ) didalam A, 𝑥 𝑛 ≠𝑐,∀𝑛∈𝑁 yang konvergen ke c tetapi barisan f( 𝑥 𝑛 ) tidak konvergen ke L. Akibatnya (b) tidak dipenuhi. Jadi terbukti bahwa jika (b) dipenuhi, maka akan dipenuhi (a).

DEFINISI 4.2.1 Misalkan 𝐴⊆𝑅, f: A →𝑅 dan c titik limit dari A. Fungsi f dikatakan terbatas pada persekitaran dari c, jika terdapat persekitaran -𝛿 𝑉 𝛿 (𝑐) dan konstrantas M > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤𝑀,∀𝑥∈𝐴∩ 𝑉 𝛿 (𝑐)

TEOREMA 4.2.2 Misalkan 𝐴⊆𝑅, f: A →𝑅 mempunyai limit di c, maka f terbatas pada suatu persekitaran dari c.

BUKTI: Jika L = lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) , maka menurut definisi dengan 𝜀=1,∃𝛿>0∋0< 𝑥−𝑐 <𝛿,𝑥∈𝐴 maka 𝑓 𝑥 −𝐿 <1, akibatnya: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 𝑥 −𝐿 + 𝐿 <1+ 𝐿

Jadi, jika 𝑥∈𝐴∩ 𝑉 𝛿 𝑐 ,𝑥≠𝑐 maka 𝑓(𝑥) ≤ 𝐿 +1 Jadi, jika 𝑥∈𝐴∩ 𝑉 𝛿 𝑐 ,𝑥≠𝑐 maka 𝑓(𝑥) ≤ 𝐿 +1. Jika c∉𝐴, ambil M = 𝐿 +1, sedangkan jika c ∈𝐴, maka ambil M = maks 𝐿 +1,𝑓(𝑐) . Hal ini menunjukkan bahwa f terbatas pada persekitaran -𝛿 dari c.

soal: Tunjukkan bahwa lim 𝑥→1 2𝑥+5 =7 ! BUKTI: Diketahui f: R →𝑅 dengan f(x)=2x+5, ∀𝑥∈𝑅

Analisis pendahuluan: 2𝑥+5 −7 <𝜀 2𝑥−2 <𝜀 2 𝑥−1 <𝜀 𝑥−1 < 𝜀 2 Diberikan sebarang 𝜀>0, ambil 𝛿= 𝜀 2

Diberikan sebarang 𝜀>0, ambil 𝛿= 𝜀 2 Diberikan sebarang 𝜀>0, ambil 𝛿= 𝜀 2 . Oleh karena itu, jika persekitaran 0< 𝑥−1 <𝛿, maka: 𝑓 𝑥 −7 = 2𝑥+5 −7 = 2𝑥−2 =2 𝑥−1 <2.𝛿<2. 𝜀 2 =ε Jadi terbukti: lim 𝑥→1 2𝑥+5 =7

SOAL: Misalkan 𝐼⊆𝑅, 𝑓:𝐼→𝑅 dan 𝑐∈𝐼. Jika terdapat bilangan real K dan L sehingga 𝑓 𝑥 −𝐿 ≤𝑘 𝑥−𝑐 ,𝑥∈𝐼. Tunjukkan bahwa lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =𝐿 !

BUKTI: Diambil sebarang 𝜀 >0, dipilih 𝛿= 𝜀 𝐾+1 . Jika 𝑥∈𝐼 dan 0< 𝑥−𝑐 < 𝜀, berlaku: 𝑓 𝑥 −𝐿 ≤𝐾 𝑥−𝑐 <𝐾. 𝛿=K . 𝜀 𝐾+1 <𝜀 Jadi, lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =𝐿 terbukti.

KERJAKAN ! Tunjukkan bahwa lim 𝑥→1 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥−1 =4 !

BUKTI: Didefinisikan f: R →𝑅 dengan f(x)= 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥−1 , ∀𝑥∈𝑅,𝑥≠1 Pilih 𝛿=𝜀 Oleh karena itu, jika 0< 𝑥−1 <𝛿, maka: 𝑓 𝑥 −4 = 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥−1 −4

= 𝑥 2 +2𝑥−3−4(𝑥−1) 𝑥−1 = 𝑥 2 −2𝑥+1 𝑥−1 = (𝑥−1)(𝑥−1) 𝑥−1 = 𝑥−1 <𝛿=𝜀 Jadi terbukti, lim 𝑥→1 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥−1 =4

KERJAKAN ! lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) =𝐿↔ lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 −𝐿 =0

BUKTI! (→) Diambil sebarang 𝜀>0 Karena lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) =𝐿, berarti ∃𝛿>0∋𝑥∈𝐴 dan 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 Berlaku 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜀, berarti: 𝑓 𝑥 −𝐿 −0 = 𝑓 𝑥 −𝐿 <𝜀 Jadi lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 −𝐿 =0

(←) Diambil sebarang 𝜀>0 Karena lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 −𝐿 =0, berarti ∃𝛿>0∋𝑥∈𝐴 dan 0< 𝑥−𝑐 <𝛿 Berlaku 𝑓 𝑥 −𝐿 −0 <𝜀, berarti: 𝑓 𝑥 −𝐿 = 𝑓 𝑥 −𝐿 −0 <𝜀 Jadi lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) =𝐿