IKG2H3/ PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASI Tim Dosen KK Pemodelan dan Simulasi Persamaan Diferensial Sebagai Model Matematika 11/13/2018

Proses Pemodelan Matematika Real –world Situation Mathematical Model Analysis Result Formulation Interpretation 11/13/2018

Contoh (Pemodelan Rangkaian Listrik) Rangkaian RLC: Resistor dengan hambatan R ohm Induktor dengan induktansi L henry Kapasitor dengan kapasitansi C farad 11/13/2018

Hubungan antara fungsi Q dan I adalah Rangkaian RLC disusun seri dengan sumber tegangan E(t) volt. Jika saklar ditutup maka akan menghasilkan arus sebesar I(t) ampere dalam rangkaian dan muatan Q(t) coulomb pada kapasitor pada saat t. Hubungan antara fungsi Q dan I adalah 11/13/2018

Elemen dalam rangkaian Tegangan jatuh Induktor Resistor Kapasitor 4

Hukum Kirchoff kedua: Penjumlahan dari voltage drop yang melewati elemen-elemen dalam loop sederhana dari sebuah rangkaian listrik sama dengan voltage (tegangan) yang digunakan. Untuk rangkaian RLC seri, secara matematika dapat dituliskan sebagai Karena dQ/dt = I maka 5

6 Hukum Newton tentang pendinginan/pemanasan: Laju perubahan temperatur T(t) dari suatu benda sebanding dengan perbedaan antara temperatur benda T dan temperatur sekitar A. Dalam persamaan matematika ditulis sebagai atau dengan k adalah konstanta positif. 6

Peluruhan Radioaktif Nukleus dari suatu atom radioaktif teridiri dari kombinasi dari proton dan neutron. Sebagian besar kombinasi dari proton dan neutron ini tidak stabil, yaitu atom-atom akan meluruh kedalam atom-atom zat lain. Misalkan dN/dt adalah laju peluruhan zat radioaktif, sebanding dengan jumlah N(t) dari sisa zat tersebut pada saat t. Kita tulis dalam persamaan matematika: dengan k adalah konstanta positif. 7

8 Laju Pertumbuhan Populasi Laju pertumbuhan populasi makhluk hidup di suatu wilayah pada waktu tertentu sebanding dengan total populasi pada waktu tersebut. Secara matematika, jika P(t) melambangkan total populasi pada saat t, maka atau dengan k adalah konstanta. 8

Penyebaran Penyakit Suatu penyakit menular, seperti flu menyebar di dalam suatu kelompok manusia yang saling berinteraksi. Misalkan x(t) adalah jumlah orang yang sudah terkena penyakit dan y(t) adalah jumlah orang yang belum terkena penyakit. Laju dx/dt yaitu laju penyebaran penyakit sebanding dengan jumlah interaksi antara x(t) dan y(t). Dalam pernyataan matematika ditulis dengan k adalah konstanta. 9

Sistem Pegas Massa Misalkan suatu benda mempunyai massa m . Pada salah satu ujungnya terikat dengan sebuah pegas yang dapat meregang dan mengerut. Kemudian pada ujung yang lain diikatkan dengan sebuah peredam (lihat gambar). 10

Hukum Hooke: Gaya yang dialami benda berbanding lurus dengan pertambahan panjang atau dalam formulasi matematika ditulis Gaya redaman yang dialami benda berbanding lurus dengan kecepatan dari benda. 11

12 Jika benda tersebut dikenakan gaya luar FE = F(t) maka gaya total pada pegas tersebut adalah F = FS + FR + FE. Dengan menggunakan hukum Newton: maka atau Ini adalah persamaan gerak untuk sistem pegas massa. 12

13 Masalah Pencampuran Input : ri L/s, ci gm/L ri = laju larutan yg masuk ci = konsentrasi larutan yg masuk Jumlah zat terlarut: Jumlah x(t) Volume V(t) Konsentrasi c0(t) = x/V Output: ro L/s co gm/L 13

Bab 2 ri, ci, dan ro konstan sedangkan maka Jika V0 = V(0) maka V(t) = V0 + (ri - ro) t. 14

Latihan 1. Tentukan persamaan diferensial untuk populasi P(t) dari suatu negara ketika seseorang diperbolehkan untuk berimigrasi kedalam negara tersebut pada laju konstan r > 0? Bagaimana jika sebaliknya yaitu seseorang diperbolehkan Beremigrasi dari negara tersebut pada laju konstan r > 0? 2. Sebuah daging panggang yang mempunyai berat 5 pon pada awalnya mempunyai temperatur 50 oF. Daging tersebut dimasukkan kedalam oven bertemperatur 375oF pada pukul 17.00 . Setelah 75 menit diketahui bahwa temperatur daging , T(t), adalah 125oF. Pukul berapa daging tersebut mempunyai temperatur 150oF? 15

16 Sebuah rangkaian seri terdiri dari sebuah resistor dengan 3. hambatan R dan sebuah induktor dengan induktansi L (lihat gambar) . Tentukan persamaan diferensial untuk arus I(t) jika pada rangkaian tersebut diberikan tegangan E(t). 16

17 Sebuah rangkaian seri terdiri dari sebuah resistor dengan 4. hambatan R dan sebuah kapasitor dengan kapasitansi C (lihat gambar) . Tentukan persamaan diferensial untuk arus I(t) jika pada rangkaian tersebut diberikan tegangan E(t). 17

18 5. Sebuah tangki berkapasitas 120 galon pada awalnya berisi 90 pon Seorang mahasiswa yang membawa virus flu kembali ke kampus tertutup yang terdiri dari 1000 mahasiswa. Tentukan persamaan diferensial untuk x(t) yaitu jumlah orang yang sudah terkena flu, jika laju penyebaran penyakit sebanding dengan jumlah interaksi antara mahasiswa yang sudah terkena flu dengan mahasiswa yang belum terkena flu. 6. Sebuah tangki berkapasitas 120 galon pada awalnya berisi 90 pon garam terlarut dalam 90 galon air. Air asin yang mengandung 2 pon/galon garam mengalir masuk kedalam tangki dengan laju 4 galon/menit dan campuran tersebut mengalir keluar dengan laju 3 galon/menit. Berapa jumlah garam dalam tangki ketika tangki tersebut penuh? 18

19 Misalkan suatu tangki pada awalnya berisi 300 galon air dengan 7. 50 pon garam terlarut di dalamnya. Air murni dialirkan masuk ke dalam tangki dengan laju 3 galon/menit. Larutan yang teraduk dengan baik tersebut dialirkan keluar dengan laju yang sama. tentukan jumlah garam yang ada dalam tangki? 19

11/13/2018