Bagian 4 – DISTRIBUSI DISKRIT Laboratorium Sistem Produksi 2004 TI2131 TEORI PROBABILITAS Bagian 4 – DISTRIBUSI DISKRIT Laboratorium Sistem Produksi 2004

TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 Distribusi Variabel Random Diskrit 4 Proses Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Distribusi Hipergeometrik Proses & Distribusi Poisson Pendekatan untuk Distribusi Binomial TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 4-1 Proses Bernoulli (1) Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhi kondisi-kondisi berikut: 1. Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atau tidak munculnya hasil yang lain. 2. Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses* dan gagal. Kedua hasil tersbut bersifat mutually exclusive dan exhaustive. 3. Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetap atau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p. * Istilah sukses dan gagal adalah istilah statistik yang tidak memiliki implikasi positif atau negatif. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3 Proses Bernoulli (2) Beberapa distribusi yang dilandasi oleh proses Bernoulli adalah : Distribusi binomial, Distribusi geometrik, dan Distribusi hipergeometrik. (termasuk kategori tersebut adalah distribusi multinomial dan negatif binomial). TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (1) Sebuah variabel random, X, menyatakan jumlah sukses dari n percobaan Bernoulli dengan p adalah probabilitas sukses untuk setiap percobaan, dikatakan mengikuti distribusi (diskrit) probabilitas binomial dengan parameter n (jumlah sukses) dan p (probabilitas sukses). Selanjutnya, variabel random X disebut variabel random binomial. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (2) Sebuah sistem produksi menghasilkan produk dari dua mesin A dan B dengan kecepatan yang sama. Diambil 5 produk dari lantai produksi dan nyatakan X sebagai jumlah produk yang dihasilkan dari mesin A. Ada 25 = 32 urutan yang mungkin sebagai output dari mesin A dan B (sukses dan gagal) yang membentuk ruang sample percobaan. Diantara hasil tersebut, ada 10 hasil yang memuat tepat 2 produk dari mesin A (X=2): AABBB ABABB ABBAB ABBBA BAABB BABAB BABBA BBAAB BBABA BBBAA Probabilitas 2 produk dari mesin A dari 5 produk yang diambil adalah p2q3 = (1/2)2(1/2)3=(1/32), probabilitas dari 10 hasil tersebut adalah : P(X = 2) = 10 * (1/32) = (10/32) = 0.3125 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (3) P(X=2) = 10 * (1/32) = (10/32) = .3125 Perhatikan bahwa probabilitas tersebut dihasilkan dari: Secara umum: 1. Probabilitas dari x sukses dari n percobaan dengan probabilitas sukses p dan probabili-tas gagal q adalah: pxq(n-x) 2. Jumlah urutan dari n percobaan yang menghasilkan tepat x sukses adalah jumlah pilihan x elemen dari total n elemen: TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (4) Jumlah Probabilitas P(x) sukses x Distribusi probabilitas binomial : dimana : p probabilitas sukses sebuah percobaan, q = 1-p, n jumlah percobaan, dan x jumlah sukses. TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (5) Distribusi probabilitas kumulatif binomial dan distribusi probabilitas variabel random binomial A, jumlah produk yang dihasilkan oleh mesin A (p=0.5) dalam 5 produk yang diambil. Penentuan nilai probabilitas dari probabilitas kumulatif TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (6) 60% dari produk yang dihasilkan adalah sempurna. Sebuah sample random sebanyak 15 diambil. Berapa probabilitas bahwa paling banyak ada tiga produk yang sempurna? TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (7) - Excel TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (8) - Excel X = jumlah produk sempurna dari sebuah sample random berjumlah 15 produk Distribusi Binomial n = 15, p = 0.6 X P(X = x) P(X <= x) Produk sempurna 0.000001 0.000001 1 0.000024 0.000025 0.25 2 0.000254 0.000279 3 0.001649 0.001928 0.2 4 0.00742 0.009348 5 0.024486 0.033833 0.15 6 0.061214 0.095047 Probability 7 0.118056 0.213103 0.1 8 0.177084 0.390187 9 0.206598 0.596784 0.05 10 0.185938 0.782722 11 0.126776 0.909498 12 0.063388 0.972886 1 3 5 7 9 11 13 15 13 0.021942 0.994828 # Produk sempurna 14 0.004702 0.99953 15 0.00047 1 TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (9) TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3

Distribusi Binomial (10) p = 0.1 p = 0.3 p = 0.5 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 4 p = . 1 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 4 p = . 3 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 4 p = . 5 . 7 . 7 . 7 n = 4 . 6 . 6 . 6 . 5 . 5 . 5 x ) ( . 4 ( x ) . 4 ( x ) P . 4 P . 3 . 3 P . 3 . 2 . 2 . 2 . 1 . 1 . 1 . . . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 1 p = . 1 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 1 p = . 3 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 1 p = . 5 . 5 . 5 . 5 n = 10 . 4 4 . . 4 x ( ) . 3 P P x ) ( . 3 ) x ( . 3 P . 2 . 2 . 2 . 1 1 . . 1 . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x x x B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 2 p = . 1 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 2 p = . 3 B i n o m i a l P r o b a b i l i t y : n = 2 p = . 5 n = 20 . 2 . 2 2 . x P ( ) ) P ( x ) P x ( . 1 . 1 1 . . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 Distribusi binomial cenderung menjadi simetris dengan meningkatnya n dan p .5. x x x TI2131Teori Probabilitas - Bagian 3