PERTEMUAN 6 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3.

Slides:



Advertisements
Presentasi serupa
BAB III VEKTOR.
Advertisements

BAB III RUANG DIMENSI TIGA.
SISTEM KOORDINAT.
BAB 2 VEKTOR Besaran Skalar Dan Vektor
BAB 1 ANALISIS VEKTOR 1.1 SKALAR DAN VEKTOR Skalar Vektor Medan skalar
Matrik dan Ruang Vektor
Vektor dan Skalar Vektor adalah Besaran yang mempunyai besar dan arah.
Vektor GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG BERDIMENSI 3
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
BAB IV V E K T O R.
Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
HASIL KALI SILANG.
ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
SUDUT ANTARA DUA VEKTOR PROJEKSI & KOMPONEN DUA VEKTOR
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Pengantar Vektor.
BAB V (lanjutan) VEKTOR.
BAB 2 VEKTOR 2.1.
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010
ALJABAR LINIER & MATRIKS
Vektor Ruang Dimensi 2 dan Dimensi 3
KEGIATAN INTI.
BAB V (lanjutan) VEKTOR.
Lingkaran.
Vektor By : Meiriyama Program Studi Teknik Komputer
VEKTOR BUDI DARMA SETIAWAN.
VEKTOR-VEKTOR DALAM RUANG BERDIMENSI 2 DAN RUANG BERDIMENSI 3
Lingkaran L I N G K A R A N.
QUIZ Diketahui vektor a, b, dan c:
BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG
MATA KULIAH MATEMATIKA LANJUT 1 [KODE/SKS : IT / 2 SKS]
VEKTOR 2.1.
(Tidak mempunyai arah)
Tri Rahajoeningroem,MT T. Elektro - UNIKOM
VEKTOR VEKTOR PADA BIDANG.
P. X w A B B v v+w v+w w v v v+w w v -v v-w v v v-w -w w w
GEOMETRI DALAM BIDANG Pertemuan 14.
PERKALIAN VEKTOR LANJUT
OPERASI VEKTOR Pertemuan 3
PERKALIAN VEKTOR Di sini ditanyakan apa yang dimaksud dengan fisika.
BAB 2 VEKTOR Pertemuan
Kalkulus 2 Vektor Ari kusyanti.
Vektor.
DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.
VektoR.
BAB 4 VEKTOR Home.
BAB III RUANG DIMENSI TIGA.
P. XII z n bidang. GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG BERDIMENSI 3
1.4 SISTEM KOORDINAT EMPAT BIDANG
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
P. XI  u 2  2 2 HASIL KALI SILANG Hasil Kali Silang Vektor-vektor
BAB. 3 (Skalar, Vektor) 5/22/
MEDAN ELEKTROMAGNETIK TF 2204
Aljabar Linier Vektor Oleh: Chaerul Anwar, MTI.
BAB 3 VEKTOR 2.1.
Oleh : Farihul Amris A, S.Pd.
SUDUT –SUDUT DALAM SUATU SEGITIGA SUDUT-SUDUT LUAR SUATU SEGITIGA
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010
BAB I ANALISIS VEKTOR 1.1 SKALAR DAN VEKTOR Skalar Vektor Medan skalar
BANGUN RUANG DAN UNSUR-UNSURNYA
Persamaan Garis Lurus Dalam Ruang
VEKTOR.
Matriks dan Aljabar Linier-Garis dan Bidang di Ruang Dimensi 3
BAB 2 VEKTOR 2.1.
VEKTOR Dosen : ANDI MARIANI RAMLAN, S.Pd., M.Pd
PERTEMUAN 4 Vektor Dimensi 2 dan Dimensi 3.
PERKALIAN VEKTOR LANJUT
Vektor Indriati., ST., MKom.
BAB III RUANG DIMENSI TIGA.
Transcript presentasi:

PERTEMUAN 6 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui contoh aplikasinya Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Perkalian Silang Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Perkalian silang (cross product) vektor u dan vektor v di Ruang-3 dan mengapit sudut , u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, v3) maka u  v = w di mana w ortogonal terhadap u dan v u  v = u2 u3 , – u1 u3 , u1 u2 v2 v3 v1 v3 v1 v2 w1 w2 w3 w = u  v Aturan tangan kanan: Arah genggaman = arah u ke v Arah ibu jari = arah w u  v Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Perkalian silang (cross product) Vektor-vektor satuan di Ruang-3 : i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) k i i j j j i k k i  i = j  j = k  k = 0 (vektor nol) i  j = k j  k = i k  i = j j  i = – k k  j = – i i  k = – j Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Dengan demikian jika u dan v dinyatakan dalam i, j, k, maka u  v = i j k u1 u2 u3 v1 v2 v3 Catatan: u = (u1, u2, u3) = (u1, 0, 0) + (0, u2, 0) + (0, 0, u3) = (u1, 0, 0) + (0, u2, 0) + (0, 0, u3) = u1i + u2j + u3k Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Teorema 3.4.1 & 3.4.2: Teorema 3.4.3 & 3.4.4: w = (w1, w2, w3) u . (u  v) = 0 (skalar) Jika u dan v merupakan vektor v . (u  v) = 0 (skalar) di Ruang-3 maka || u  v || adalah || u  v ||2= || u ||2 || v ||2 – (u . v)2 luas jajaran genjang yang u  (v  w) = (u . w)v – (u . v)w dibentuk oleh u dan v. (u  v)  w = (u . w)v – (v . w)u u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3) u  v = – (v  u) u1 u2 u3 u  (v + w) = (u  v) + (u  w) v1 v2 v3 (u + v)  w = (u  w) + (v  w) w1 w2 w3 k (u  v) = (ku)  v = u  (kv) adalah volume parallelepipedum u  0 = 0  u = 0 yang dibentuk u, v, w (ambil harga u  u = 0 mutlaknya). Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Contoh (3) : Carilah luas segitiga yang dibentuk titik A(2,2,0), B(-1,0,2), C(0,4,3) Penyelesaian : AB = (-3,-2,2), AC = (-2,2,3) Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Penyelesaian : Luas = 2 x luas segitiga = v 225 Teorema : Jika u dan v adalah vektor berdimensi 3, maka ||uxv|| merupakan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh u dan v Contoh : hitung luas jajaran genjang yang dibentuk oleh 3 titik dicontoh sebelumnya Penyelesaian : Luas = 2 x luas segitiga = v 225 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Teorema : jika u,v, dan w merupakan vektor dimensi 3, maka u.(v × w ) disebut sebagai hasil skalar ganda tiga dari u,v, dan w Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

hitung u.(v × w ) dengan u = 3i – 2j – 5k, v = i +4j – 4k, w = 3j + 2k Contoh : hitung u.(v × w ) dengan u = 3i – 2j – 5k, v = i +4j – 4k, w = 3j + 2k Penyelesaian : Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Teorema : jika u,v, dan w merupakan vektor dimensi 3 yang mempunyai titik pangkal yang sama, maka ketiganya terletak pada bidang yang sama jika dan hanya jika Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Cari semua vektor satuan dalam bidang yang dibentuk oleh Contoh : Tentukan apakah a,b,c terletak pada bidang yang sama jika diposisikan sedemikian sehingga titik pangkalnya saling berhimpitan a(5,-2,1), b(-4,-1,1), c(1,-1,0) Cari semua vektor satuan dalam bidang yang dibentuk oleh a =(3,0,1), b = (1,-1,1) yang tegal lurus dengan w = (1,2,0) Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Garis dan Bidang di Ruang-3 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Persamaan normal-titik (point normal form): Bidang Datar: Persamaan normal-titik (point normal form): Titik Po(xo,yo,zo) dan titik P(x, y, z) terletak di bidang datar  Vektor normal n = (a, b, c) ortogonal terhadap bidang  Vektor PoP = (x – xo, y – yo, z –zo) Karena n ortogonal terhadap , maka n juga ortogonal terhadap vektor PoP, sehingga n . PoP = 0 n = (a, b, c) P Po  Bidang Datar  dinyatakan dengan persamaan: a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Bentuk umum Persamaan Bidang Datar: Dari Persamaan Normal-titik (point normal form): a(x – xo) + b(y – yo) + c(z –zo) = 0 ax + by + cz + (– axo – byo – czo) = 0 ax + by + cz + d = 0 n = (a, b, c) Bidang Datar  dinyatakan dengan persamaan : P Po ax + by + cz + d = 0  Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Bentuk vektor Persamaan Bidang Datar: Dalam Persamaan normal-titik P dan Po dianggap sebagai titik. Jika r = vektor OP dan ro = vektor OPo, maka vektor PoP = r – ro (di sini titik O adalah titik awal koordinat Cartesius) P Dari n . PoP = 0 diperoleh r – ro r Po ro O n . (r – ro) = 0 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Perpotongan 2 buah Bidang Datar: ax + by + cz = k1 tidak berpotongan dx + ey + fz = k2 berpotongan Perpotongan 3 buah Bidang Datar: (lihat gambar 2 hal.157) ax + by + cz = k1 tidak berpotongan dx + ey + fz = k2 garis lurus gx + hy + iz = k3 berpotongan di titik Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3: Bentuk Parametrik Persamaan Garis Lurus: Vektor PoP sejajar dengan vektor v PoP = (x – xo, y – yo, z – zo) PoP = tv (t skalar) (x – xo, y – yo, z – zo) = t(a, b, c) P(x, y, z) Po(xo, yo, zo) (a, b, c) v x – xo= ta y – yo = tb z – zo = tc Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Persamaan Garis Lurus di Ruang-3 Bentuk vektoris Persamaan Garis Lurus: P(x, y, z) r - ro r r – ro sejajar v r – ro = tv r = ro + tv Po(xo, yo, zo) (a, b, c) ro v Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

. . Jarak dari sebuah titik ke bidang datar D = || projn QPo || n = (a, b, c) . D = || projn QPo || = | QPo . n | / || n || = | n . QPo | / || n || n = (a, b) Po(xo, yo, zo) D . Q(x1, y1, z1) QPo = (xo – x1, yo – y1, zo – z1) Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 n . QPo = a(xo – x1) + b(yo – y1) + c(zo – z1) = axo – ax1 + byo – by1 + czo – cz1 = axo + byo + czo – ax1 – by1 – cz1 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

. . Jarak dari sebuah titik ke bidang datar || n || =  a2 + b2 D n = (a, b, c) . Po(xo, yo, zo) n . QPo = a(xo – x1) + b(yo – y1) + c(zo – z1) = axo – ax1 + byo – by1 + czo – cz1 = axo + byo + czo – ax1 – by1 – cz1 = axo + byo + czo + d D . Q(x1, y1, z1) Persamaan bidang: ax + by + cz + d = 0 Karena Q terletak di bidang ini, maka ax1 + by1 + cz1 + d = 0 atau d = – ax1 – by1 – cz1 D = | n . QPo | / || n || = |a xo + byo + czo + d | / a2 + b2 Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3

Jarak antara dua bidang datar yang sejajar: Misalkan kedua bidang datar itu adalah  dan  Tentukan sebuah titik T di bidang  Kemudian hitung jarak antara titik T dengan bidang  Cross Product, Garis dan Bidang di Ruang-3