BAB 1 Vektor Sussi, S.Si, M.T.

Sub Pokok Bahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan Penjumlahan Vektor secara Analitis Perkalian Skalar Perkalian Vektor

Sasaran Pembelajaran Mahasiswa mampu menentukan besar dan arah sebuah vector Mahasiswa mampu menyelesaikan operasi- operasi vector, seperti operasi jumlah, operasi titik (dot), operasi silang dua buah vector (cross) Mahasiswa mampu memahami konsep differesial dan integral dalam besaran fisis

Definisi Vektor Besaran Vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variable, yaitu BESAR dan ARAH. Contoh besaran vector adalah perpindahan. Sebuah besaran vector dapat dinyatakan oleh huruf dicetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal 𝐴 ). Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor 𝑅 a b 𝑅

Penjumlahan Vektor 𝑅 𝑆 𝑇 Penjumlahan vector 𝑅 yang menyatakan perpindahan a ke b dan vector 𝑆 yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vector 𝑇 yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vector dengan mempertemukan ujung vector pertama, vector 𝑅 , dengan pangkal vector kedua, vector 𝑆 . Maka resultan vektornya, vector 𝑇 , adalah menghubungkan pangkal vector pertama dan ujung vector kedua. b 𝑅 𝑆 𝑇 𝑇 = 𝑅 + 𝑆 c a

Besar Vektor Resultan Jika besar vector 𝑅 dinyatakan oleh R dan besar vector 𝑆 dinyatakan oleh S, maka besar vector 𝑇 sama dengan : T= 𝑅 2 + 𝑆 2 −2𝑅𝑆 cos 𝜃 (1.1) Sudut 𝜃 menyatakan sudut yang dibentuk antara vector 𝑅 dan vector 𝑆 . 𝑅 𝑆 𝑇 θ 𝑇 = 𝑅 + 𝑆

Pengurangan Vektor Untuk pengurangan vector, missal 𝐴 – 𝐵 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 𝐴 + (- 𝐵 ). Vektor - 𝐵 atau negatif dari vektor 𝐵 adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor 𝐵 tetapi arahnya berlawanan. 𝐶 = 𝐴 – 𝐵 – 𝐵 𝐵 𝐴 𝐶

Contoh Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km. Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan besar perpindahan mobil tersebut ! N E U 20 km 40 km B S 10 km

Jawab : Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor 𝐴 , perpindahan kedua dinyatakan vector 𝐵 , dan perpindahan ketiga dinyatakan vector 𝐶 , maka perpindahan total dinyatakan vector 𝐷 . Panjang vector 𝐷 adalah : |D| = 40 2 + 10 2 = 10 17 m 40 km 10 km 20 km 𝐵 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 𝐶

Vektor Satuan Vektor satuan didefenisikan sebagai : r = 𝑅 𝑅 (1.2) Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

Penulisan Vektor secara Analitis vektor dalam dua dimensi Vektor 𝑅 dinyatakan oleh 𝑅 = Rxi + Ryj + Rzk Besar vector 𝑅 adalah 𝑅 = 𝑅 𝑥 2 + 𝑅 𝑦 2 + 𝑅 𝑧 2 Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. R Ry Rz Rx

Contoh Sebuah vector perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X Panjang vector Jawab : vector perpindahan : R = (Xujung – Xpangkal)i + (Yujung –Ypangkal)j = (-2-2)i + (5-2)j = -4i + 3j (2,2) (-2,5) x y pangkal ujung  Rx Ry

Sudut yang dibentuk : Besar vektor 𝑅 y (-2,5) Ry (2,2)  x Rx ujung pangkal ujung  Rx Ry Sudut yang dibentuk : Besar vektor 𝑅

Penjumlahan Vektor secara Analitis Jika diketahui : vektor 𝐴 = XAi + YAj dan vektor 𝐵 = XBi + YBj, maka penjumlahan vektor 𝐴 + 𝐵 = (XA + XB)i + (YA + YB)j Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku: 𝑅 = (X0 +…+Xi +… +Xn)i + (Y0 +…+Yi +… +Yn)j (1.3) xA + xB 𝐴 + 𝐵 𝐴 𝐵 yA + yB xA xB yA yB 𝐴 𝐵

Contoh Diketahui dua buah vektor. 𝐴 = 3i + 2j 𝐵 = 2i  4j Tentukan : a. 𝐴 + 𝐵 dan  𝐴 + 𝐵  b. 𝐴 - 𝐵 dan  𝐴 - 𝐵  Jawab : a. 𝐴 + 𝐵 = 3i + 2j + 2i  4j = 5i  2j  𝐴 + 𝐵  = 5 2 + −2 2 = 29 b. 𝐴 - 𝐵 = 3i + 2j  (2i  4j) = i + 6j  𝐴 - 𝐵  = 1 2 +62 = 37 A B A + B -B A  B

Perkalian Skalar Perkalian skalar atau sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran scalar dimana berlaku : 𝐴 . 𝐵 = AB cos  (1.4) Jika diketahui 𝐴 = ax i + ay j + az k dan 𝐵 = bx i + by j + bz k, maka : 𝐴 . 𝐵 = axbx + ayby + azbz (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah: i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0 𝐵  𝐴

Contoh  Dengan demikian 𝜃 = 79.7° Diketahui dua buah vektor, 𝐴 = 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j. Tentukan sudut antara vektor 𝐴 dan 𝐵 ! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor 𝐴 dan 𝐵 dapat menggunakan persamaan (1.4). cos 𝜃 = 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 ∙ 𝐵 = (3i + 4j) . (4i  2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4 Besar vector 𝐴 = 32+42 =5 Besar vector 𝐵 = 42+(−2)2 = 20 Cos 𝜃 = 𝐴 ∙ 𝐵 𝐴𝐵 = 4 5 20 = 4 10 5 = 2 125 Dengan demikian 𝜃 = 79.7°

Perkalian Vektor Perkalian vector atau perkalian silang dari dua buah vector menghasilkan besaran vector lain dimana berlaku : 𝐴 x 𝐵 = 𝐶 Besar vector 𝐶 adalah : 𝐶 = AB sin 𝜃 Arah vektor 𝐶 selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk olek vector 𝐴 dan vector 𝐵 . Untuk menentukan arah vector 𝐶 dapat diperhatikan gambar dibawah ini. Diketahui bahwa hasil 𝐴 x 𝐵 tidak sama dengan 𝐵 x 𝐴 . Walaupun besar vector hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B A C = A  B C’ = B  A  C = -C’

Perkalian Vektor Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian silang adalah: i  i = j  j = k  k = 0 i  j = k ; j  k = i; k  i = j j  i = -k ; k  j = -i; i  k = -j

Perkalian Vektor Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vector dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vector (misal 𝐴 x 𝐵 ), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vector A ke vector B. ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vector tersebut.

Contoh Diketahui dua buah vektor. 𝐴 = 3i + 4j dan 𝐵 = 4i  2j + k Tentukan : 𝐴 x 𝐵 Buktikan 𝐵 x 𝐴 = - (𝐴  𝐵 ) Jawab : 𝐴 x 𝐵 = (3i + 4j)  (4i  2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k 𝐵 x 𝐴 = (4i  2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - (𝐴  𝐵) (terbukti)

Soal Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor 𝐴 = i + 2 j – k dan vektor 𝐵 = 3 i – 4 k ! Tentukan panjang proyeksi dari vector 𝐴 = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor 𝐵 = i + 3 j – 4 k ! Diberikan tiga buah vektor : 𝐴 = 1 i + 2 j – k 𝐵 = 4 i + 2 j + 3 k 𝐶 = 2 j – 3 k Tentukan : a. 𝐴 . ( 𝐵  𝐶 ) b. 𝐴 . ( 𝐵 + 𝐶 ) c. 𝐴  ( 𝐵 + 𝐶 ) Buktikan vektor 𝑅 = 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

Solusi 1. Menurut persamaan (1.5) 𝐴 . 𝐵 = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor 𝐴 : Besar vektor 𝐵 : Nilai sudut antara 𝐴 dan 𝐵 ditentukan oleh : Dengan demikian  = 55,1o 𝐵 AB  𝐴 2. Panjang AB menyatakan panjang proyeksi 𝐴 terhadap 𝐵 yang besarnya :

Solusi 3. a.) 𝐵  𝐶 = (4i + 2j + 3k)  (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j  12i 𝐴 . ( 𝐵  𝐶 ) = (i + 2j – k) . (-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 b.) 𝐵 + 𝐶 = 4i + 4j Nilai A . ( 𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 c.) 𝐴  ( 𝐵 + 𝐶 ) = (i + 2j – k)  (4i + 4j) = i – 4j – 4k 4. Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : 𝑅 . 𝑆 = RS cos 90o = RS . 0 = 0 𝑅 . 𝑆 = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui 𝑅 = 3 i + 2 j - 4 k dan 𝑆 = 2 i + j + 2 k, maka : 𝑅 . 𝑆 = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

Besaran Fisis Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.

Besaran Fisis Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. y x x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3

Besaran Fisis Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. t (detik) x (meter) 9 1 4 2 3 5 6 7 16 8 25 36

Besaran Fisis r (m) E (N/C) 1 9 2 2,25 3 4 0,5625 5 0,36 6 0,25 7 0.1837 8 0,1406 0,1111 10 0,09 Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

Contoh Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x ! x F F =kx

Contoh Lainnya Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t ! t Q = q(1 – e-At) Q q

Diferensial Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan : f(x) x c c+h f(c+h) f(c) Garis singgung P (1.9)

Diferensial Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : (1.10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f’(x) Dxy Berlaku untuk turunan : Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a) Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b) Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c) Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d) Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)

Diferensial Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

Contoh Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : Fungsi arus sebagai waktu Besar arus saat t = 0 Gambarkan grafik I(t) Jawab : Besar arus I : Pada saat t = 0 harga I adalah: I = qAe-A.0 = qA qA I(t) t c.

Integral Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. x0 x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.

Integral Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n mendekati tak hingga.

Integral Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh : Usaha = Gaya  jarak Fluks = Medan  luas

Contoh Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : Usaha yang dilakukan : W =½kx2 W x b.

Soal Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax  Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : Grafik F terhadap x Perubahan Gaya F terhadap jarak Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. x (m) 10 8 4 V (volt) Tentukan : Fungsi potensial V sebagai fungsi x Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x) Gambarkan grafik E terhadap x

Soal Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : Gambarkan grafik v(t) Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) Gambarkan grafik a(t) Fungsi posisi x(t) terhadap waktu Posisi saat kecepatan v = 0

Solusi b. Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh = A – 2Bx = 103 – 104x x (cm) F (N)

Solusi 1. c. Usaha yang dilakukan : W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule 2. a. 10 8 4 V (volt) x (m) Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b. Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4 Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

Solusi Medan listrik E(x) = Dengan demikian nilai E(x) konstan. 2. b. = 2,5 2. c. x (m) E (V/m) 2,5 x (m) v (m/s) 3. a.

Solusi 3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s. 3. c. Percepatan a(t) = = 10 – 4t a (m/s2) 3. d. x (m)

Solusi Fungsi posisi x(t) = 3. e. Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : 3. f. x(5) = Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m