Limit dan Differensial ADHITYA WARDHANA DOSEN FAKULTAS EKONOMI JURUSAN IESP UNIVERSITAS PADJADJARAN

Limit Limit merupakan konsep dasar yang penting dalam cabang matematika yang dikenal dengan kalkulus Kita dapat mengetahui seberapa jauh suatu fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi tersebut terus menerus berkembang mendekati nilai-nilai tertentu

Pernyataan pada Limit Limit fungsi f(x) untuk mendekati a adalah L, dimana a dan L masing-masing adalah bilangan. Artinya jika x bertambah secara terus menerus hingga mendekati a, maka nilai fungsi f(x) pun akan bertambah hingga mendekati L Contoh;

Kaidah-Kaidah Limit Limit dari suatu konstanta

Limit Suatu Penjumlahan/Pengurangan Jumlah selisih dari limit fungsi-fungsinya

Limit dari Suatu Perkalian y=f(x) . g(x)

Limit dari Suatu Pembagian Pembagian dari limit fungsi-fungsinya dengan syarat limit fungsi pembagi (penyebut) Dengan syarat

Limit 2 Fungsi Dua fungsi yang serupa mempunyai limit yang sama f(x) = g(x) juga

DIFERENSIAL Pada dasarnya merupakan proses penarikan limit atas suatu koefisien diferensi dalam hal tambahan variabel bebasnya mendekati nol. Hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi dinamakan turunan (y’) atau derivatif

Soal Limit

PERHITUNGAN DIFERENSIAL Mencari laju perubahan suatu fungsi. Dalam ekonomi, diferensial dapat digunakan untuk memecahkan soal bagaimana meminimalkan biaya dan memaksimalkan laba. Analisis dalam ekonomi adalah terutama analisa mengenai perubahan. Analisis marginal adalah analisis mengenai laju perubahan marginal yaitu laju perubahan sesaat yang tak lain daripada hasil bagi diferensial atau turunan pertama dari fungsi-fungsi yang bersangkutan, misal fungsi permintaan, penawaran, produksi, biaya, pendapatan, konsumsi, tabungan, harga, laba, dan lain-lain. Laju perubahan sesaat di suatu titik X dinamakan hasil bagi diferensial atau turunan fungsi yang dilambangkan : atau didefinisikan dengan suatu limit, yaitu

Jika f (x) = y, maka turunannya dituliskan juga

KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIAL Turunan Fungsi Aljabar Turunan dari fungsi

Turunan Suatu Konstanta Turunan Suatu Jumlah

4.Turunan Suatu Hasil Kali

5.Turunan Suatu Hasil Bagi

6.Turunan Fungsi berantai (fungsi komposit) Yaitu fungsi dari fungsi, misal y = F ( u ) sedang u = f ( x ) Sehingga y adalah juga fungsi dari x

PENERAPAN EKONOMI PADA DIFFERENSIAL Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran

Elastisitas Elastisitas Permintaan : dQd/dP X P/Qd Elastisitas Penawaran : dQs/dP X P/Qs Elastisitas Produksi : dP/dX . X/P

Contoh Elastisitas Permintaan : Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan pada persamaan Qd = 25 – 3P2. tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat harga P=5 Qd = 25-3P2, Qd’= -6P Ed = dQd/dP X P/Qd = -6P . P/ 25-3P2 Jika P=5 menjadi = -6(5).5/25-3(5)2 = 3 elastis Contoh Elastisitas Penawaran : Ed = Qs= -200 + 7P2, dimana P = 10 = Qd’= 14P Ed = dQs/dP X P/Qs = 14PXP/-200+7P2, Jika P= 10 = 14(10) X 10/-200+7(10)2= 2,8 Contoh Elastisitas produksi P = 6X2 – X3, jika X = 3, P’= 12X-3X2 Ep = (12X-3X2). X/6X2 – X3 ?

BIAYA MARJINAL Biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk.Fungsi biaya marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total. MC = C’ =dC/dQ Contoh kasus : C = Q3-3Q2+4Q+4, MC = C’ = 3Q2-6Q+4 Jika MC = 0 Q = 1 didapat dari C’’ = 6Q-6 Setelah mendapat Q=1 maka MC = (1)3-3(1)2+4(1)+4 = 6

Kurva MC 6 4 1 C,MC Q C MC

PENERIMAAN MARJINAL (MR) Penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. MR = R’=dR/dQ Contoh : P = 16-2Q Penerimaan Total , R = P.Q = f(Q) = 16Q-2Q2 MR = R’ = 16-4Q Pada MR = 0, Q=4, jadi P = 16- 2(4) = 32

UTILITAS MARJINAL DAN PRODUK MARJINAL MU = U’= dU/dQ Contoh : U=f(Q)= 90Q-5Q2 ? MP = P’ = dP/dQ Contoh : Produksi total ; P=f(x) = 9x2-X3, ditanya MP dan P maksimum

ANALISIS KEUNTUNGAN MAKSIMUM Melihat tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau minimum. Π = R-C = r(Q)-c(Q) Π optimum jika Π’ = f’(Q) = dΠ/dQ =0 Karena л = R-C, maka л= MR-MC Kasus : R = 1000Q - 2Q2 , C= Q3 – 59Q2+1315Q + 2000 Maka R-C = 1000Q- 2Q2-(Q3 – 59Q2+1315Q + 2000) Л = - Q3+57Q2-315Q-2000 Syarat dΠ/dQ =0 Jadi dΠ/dQ = -3Q2+114Q-315 =0 Q2 – 38Q+105 =0 (Q-35)(Q-3) =0 Q1 = 35 dan Q2 =3

Syarat yang Mencukupi Syarat ; d2Π/dQ2 <0 d2Π/dQ2 = -6Q+114 Untuk Q`=35 , d2Π/dQ2 = -6(35)+144=-96 <0 max Untuk Q`=3 , d2Π/dQ2 = -6(3)+144= 96>0 min Jadi Πmaks= - (35)3+57(35)2-315(35)-2000 = 13925 Mencari P, P =C/Q = 1000-2Q/Q Karena Q = 35 maka P = 1000-2(35)/(35) = 930 R ?, C?

Turunan Fungsi Kebalikan (invers) Y = f(x) x = g (y) merupakan fungsi kebalikan ( x = f-1(y)) Rumus : dy/dx = 1/ dy/dx or dx/dy = 1/dy/dx Contoh : Y = 5x + 25 = dx/dy = 1/dy/dx =1/5 Y = x3 + x = 1/3x2 + 1

Turunan Fungsi Logaritma dengan bilangan 10 Y=10 log x Dy/dx = 1/x log e = 1/xln 10 Contoh : y = log 8x y= log 8 + log x dy/dx = 1/x log e dy/dx = 1/x log e Y = log 2x3 y = log 4x2 y = log u dy/dx = 1/u log e dy/dx Y = log (4x + 1) dy/dx = 1/(4x+1) log e 4 = 4/4x+1 log e

Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok e Y = e log x dy/dx = 1/x e log e menjadi 1/x ln e = 1/x(1) Contoh ; Y = lnx3 dy/dx = 3 ln x = 3/x Y = ln u menjadi dy/dx = 1/u .du/dx/ ln e Contoh : Y = ln (4x-3) dy/dx = 1/(4x-3) . 4 Turunan fungsi logaritma dengan bilangan pokok sembarang Y = alog x menjadi dy/dx = 1/xlna

Fungsi peubah lebih dari dari dua Turunan Parsial Merupakan perluasan lebih lanjut dari perhitungan dengan konsep penurunan dihubungkan langsung dengan fungsi multivariat (banyak peubah) Z = f(xy) differensial parsial fx ; fy Partial derivatives dz/dx ; dz/dy Y = f(x1, x2, x3) dy/dx1 = f1 dy/dx2 = f2 dy/dx3 = f3 Y = 3x1+4x2 , f1 = 3 f2 = 4

Diferensial total diferensial dy dari y = f(x,z) dinamakan diferensial total yang besarnya dy = dy/dx . dx + dy/dz.dz Contoh : Z= x2+xy – y2 = (2x+y)dx + (x-2y)dy

Turunan Fungsi Implisit F(x,y) = 0 Df/dx.dx + df/dy.dy = o menjadi dy/dx = -df/dx/dfdy Contoh : 2x3 – xy2 + y2 +12 df/dx.dx + df/dy.dy = o (6x2-2y) + (-2x + 2y) dy/dx = - 6x2-2y/-2x + 2y X2 – xy -2y2 = 0 Fungsi dari fungsi Jika Z = f (x,y) dimana x = x(t) dan y = y(t) maka total derivatif menjadi : dz = dz/dx.dx + dz/dy.dy dikatakan total deferensial Dz/dt = dz/dx . Dx/dt + dz/dy.dy/dt Z = 5x +2y dimana x = t2 +3 dan y = 5t3 + 4 Dz/dx = 5 dz/dy = 2 dx/dt =2t dy/dt = 15t2 Dz/dt = 5.2t + 2.15t2 = 10t + 30t2 = 10(1+3t)

Syarat perlu, adalah syarat orde pertama dz/dx = fx = 0 dz/dy = fy = 0 Maksimum dan Minimum Untuk fungsi perubah tiga z = f(x,y) maka titik stationer dapat merupakan ekstrem relatif, titik pelana dan titik belok, Dan syarat untuk mencapai titik ekstrem adalah : Syarat perlu, adalah syarat orde pertama dz/dx = fx = 0 dz/dy = fy = 0 2. Syarat cukup adalah syarat orde kedua Ekstem bila fxx fyy – fxy2 > 0 Titik pelana bila fxx fyy – fxy2 < 0 Ekstrem minimum bila fxx dan fyy > 0 Ekstrem maksimum bila fxx dan fyy < 0 tanda fxx dan fyy senantiasa sama Contoh : Z = -x2 + 12x – y2 + 10y – 45 Fx = dz/dx = -2x + 12 menjadi x = 6 Fy = dz/dy = -2y + 10 menjadi y = 5 Titik statisioner (6,5) fxx = -2 fyy = -2 fxy = 0 fxx fyy – fxy2 = (-2) (-2) – 0 = 4 > 0 *titik ekstrem Fxx = -2 < 0 titik maksimum Zmaksimum = -x2 + 12x – y2 + 10y – 45 = -(6)2 + (12) (6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16