METODE NUMERIK (3 SKS) STMIK CILEGON

PENGANTAR NUMERIK Masalah nyata Rumusan masalah Solusi Eksak Model matematika Rumusan masalah Solusi Eksak Pendekatan

Contoh kasus. Pemakaian rumus ABC utuk menentukan akar dari persamaan kuadrat contoh f(x) = x2 + 1015x + 5 = 0 Menentukan determinan dari suatu matriks Contoh.

Metode analitik vs Metode numerik - menghasilkan solusi eksak (galat = 0) - menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika Metode numerik - menghasilkan solusi pendekatan - menghasilkan solusi dalam bentuk angka

Peranan komputer dalam MetNum Mempercepat perhitungan tanpa membuat kesalahan Mencoba berbagai kemungkinan yang terjadi akibat perubahan parameter Contoh aplikasi : Mathlab, Mathcad, Mathematica dll Mengapa perlu belajar Metnum Alat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan secara analitik) Memudahkan dalam memahami aplikasi program Dapat membuat sendiri program komputer yang tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasi Menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar

GALAT

Prinsip perhitungan dalam numerik Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus “tidak ada algoritma untuk segalanya” Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil

Penyajian bilangan Bilangan ada 2: Eksak Tidak eksak Perhitungan matematika tidak eksak , e, Perhitungan desimal yang berulang 0.3333…. Hasil perhitungan deret tak hingga e Hasil pengukuran

Floating point f.p x = a x bn a = matise (0 ≤ a ≤ 1) b = basis n = eksponen (bilangan bulat) Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10

Desimal dan angka signifikan Misal x = 0.05  2 desimal 1 angka signifikan x = 0.30  2 desimal 2 angka signifikan Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan

Aritmatika dalam floating point Penjumlahan /pengurangan Ubah bilangan ke f.p Ubah eksponen mengikuti eksponen yang besar Jumlahkan/kurangkan Sesuaikan desimal/a.s yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103 x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120

Perkalian/pembagian Ubah bilangan ke f.p Untuk perkalian : jumlahkan eksponen dan kalikan matise Untuk pembagian : kurangkan eksponen dan bagikan matise Tulis hasil dalam f.p sesuai dengan desimal yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0. 14 x 100 x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103 = 0.02 x 103 = 20

Galat yang ada pada input : Input Proses Output Alur perhitungan Sumber-sumber galat : Galat yang ada pada input : Chopping error Rounding error Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak Input Proses Output

Galat yang ada pada proses : Rambatan galat Rumus/metode/algoritma tidak tepat Kesalahan alat Human error Galat pada output : Chopping error Rounding error

Misal x adalah nilai eksak dan x Misal x adalah nilai eksak dan x* adalah nilai pendekatan maka galat  = x – x* Galat absolut a = |x – x*| Galat absolut relatif

Macam-macam galat Chopping error Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta Contoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal x* = 0.378x103 galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103| = 0.000456x103 = 0.456

Round off error Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai Contoh. x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x – x*| = |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

Truncation error Galat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin Contoh.

Nested form Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3 f(0.25) = 4.521875 Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4))) f(0.25)=3.896875 Galat yang terjadi 0.625

Hilangnya angka signifikan Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik Contoh. 13 = 13.0000 6 a.s 6 a.s 0.0385 3 a.s

Deret Taylor & Deret MacLaurin Deret Taylor di titik a Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin

Contoh. f(x) = sin x f’(x) = cos x f’’(x) = - sin x f’’’(x) = -cos x Dst…. Deret MacLaurin

Deret Taylor dan deret MacLaurin dapat digunakan dalam perhitungan untuk mencegah hilangnya angka signifikan Contoh. Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 – 0.5 = 0.02057 (4 a.s) Diperoleh 0.02031 (4 a.s)

Fungsi Pendekatan

Pendahuluan Masalah yang sulit dievaluasi Fungsi yang “rumit” Fungsi pendekatan dengan menyederhanakan fungsi Informasi tentang fungsi dalam bentuk tabel nilai (hanya sebagian informasi yang diketahui) Fungsi pendekatan dengan pendekatan nilai dari data Digunakan fungsi pendekatan berupa polinomial yang memenuhi fungsi pada sejumlah titik

Misalkan nilai fi = f(xi) diketahui i = 1,2,3,…,n Dapat digunakan fungsi polinomial pn(x) dengan derajat ≤ n untuk menginterpolasi fungsi di (n + 1) titik xi, i = 1,2, 3,…,n Polinomial interpolasi yang digunakan harus memenuhi

Bentuk Lagrange Didefinisikan fungsi

Jika fi adalah nilai fungsi di titik xi maka jumlah dari perkalian fi dengan Li(x) adalah pn(x) = f1L1(x) + f2L2(x) + … + fnLn(x) Bentuk di atas disebut bentuk Lagrange polinomial interpolasi

Contoh. Tentukan polinomial untuk menginterpolasi fungsi di titik x = -1,0 dan 1 Jawab. Misal x0 = -1, x1 = 0 dan x2 = 1

Diperoleh polinomial interpolasi p2(x)=f0L0(x)+f1L1(x)+f2L2(x) =

Formula Pembagian Selisih Newton xi f(xi) f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2]

Dari langkah-langkah di atas diperoleh polinomial interpolasi pn(x) = f(x0)+(x - x0)f[x0,x1]+(x - x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]+…+ (x - x0)…(x - xn-1)f[x0,x1,…,xn] Contoh. Gunakan formula pembagian selisih Newton untuk menginterpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6

Jawab. Polinomial interpolasi xi f(xi) 2 1.414214 0.002636 0.317837 3 1.732051 -0.024944 0.267949 4 2.000000 -0.014401 0.224745 6 2.449490 Polinomial interpolasi pn(x) = 1.414214 + (x – 2){0.317837 + (x – 3){-0.024944 + (x – 4)(0.002636)}}

Galat dari polinomial interpolasi Misal polinom pn(x) dengan derajat ≤ n yang menginterpolasi fungsi f di xi  [a,b], i = 0,1,2…, n Jika derivatif fungsi ke - n+1 kontinu pada [a,b] maka galat Dengan x berada dalam interval yang memuat x,x0,x1, … ,xn

Contoh. Tentukan error di titik x = 5 dari polinomial interpolasi di titik x = 2, 3, 4 dan 6 Jawab.

PERSAMAAN NONLINIER

Persamaan nonlinier Pada umumnya persamaan nonlinier f(x) = 0 tidak dapat mempunyai solusi eksak Jika r suatu bilangan real sehingga f(r) = 0 maka r disebut sebagai akar dari persamaan nonlinier f(x) Solusi dari persamaan nonlinier dapat ditentukan dengan menggunakan metode iterasi

Persamaan nonlinier f(x) = 0 Tidak mempunyai akar Mempunyai beberapa akar Mempunyai banyak akar Metode pencarian akar dari persamaan nonlinier Metode biseksi (Bisection Method) Iterasi titik tetap (Fixed Point Iteration) Metode Newton (Newton Method)

Metode biseksi Jika f(x) kontinu pada interval [a,b] dan f(a).f(b) < 0 maka terdapat minimal satu akar. Algoritma sederhana metode biseksi Mulai dengan interval [a,b] dan toleransi  Hitung f(b) Hitung c = (a - b)/2 dan f(c) Jika b – c ≤  maka STOP ( akar = c) Jika f(b).f(c) < 0 maka a = c jika tidak b = c dan f(b) = f(c) Ulangi langkah 3

Contoh. Gunakan metode biseksi untuk mencari akar dari x – 1 = e-x pada interval [1,1.4] dengan toleransi  = 0.02 Jawab.

Diperoleh akarnya adalah x  1.2875 b c f(b) f(c) f(b).f(c) action error 1 1.4 1.2 0.15 -0.1 < 0 a = c 0.2 1.3 0.027 > 0 b = c 0.1 1.25 -0.037 0.05 1.275 -0.0044 0.025 1.2875 0.0125 Diperoleh akarnya adalah x  1.2875

Kekonvergenan metode biseksi Menentukan banyaknya iterasi sehingga error maksimumnya ≤  Iterasi Lebar interval B – a 1 (b – a)/2 2 (b – a)/4 . n (b – a)/2n

Error maksimum Banyaknya iterasi

Contoh. Berapa iterasi yang diperlukan agar error maksimum pada metode biseksi lebih kecil dari 10-5 pada interval [0,1]? Jawab.

Iterasi titik tetap Misal terdapat fungsi f(x) = 0 Ditentukan fungsi baru dengan bentuk x = g(x) Kemungkinan dari penentuan fungsi x = g(x) Konvergen Divergen Digunakan untuk melakukan iterasi dengan inisialisasi x0 f(r) = 0 ↔ r = g(r) dan r disebut titik tetap

Contoh. Tentukan akar hampiran dari fungsi x3 – 2x + 1 = 0 dengan x0 = 2 Jawab. Ditentukan fungsi baru 2x = x3 + 1 x = ½ (x3 + 1) xn+1 = ½ (xn3 + 1) dengan x0 = 2 Dari tabel terlihat bahwa penentuan fungsi x = g(x) bersifat divergen Iterasi xn xn+1 2 4.5 1 46… 46….

Penentuan fungsi baru yang lain x3 – 2x + 1 = 0 Setelah 3 iterasi diperoleh akar hampiran x = 1.137 Iterasi xn xn+1 2 1.4422 1 1.225 1.137

Metode Newton Dalam metode ini, fungsi y = f(x) dianggap sebagai garis lurus yang melalui titik (a,f(a)), menyinggung kurva y = f(x) dan memotong sumbu X di titik (x,0) Gradien kurva m = f’(a)

Menyinggung kurva f = f(x)  persamaan garis singgungnya adalah y – f(a) = m (x – a) y – f(a) = f’(a)(x – a) Karena memotong sumbu X di (x,0) maka 0 – f(a) = f’(a)(x – a)

Iterasi metode Newton Algoritma Newton Inisialisasi x = x0, f’(x0)  0 Hitung |f(xn+1)|   STOP (xn+1 akar hampiran) Ulangi langkah 2

Contoh. Tentukan akar hampiran dari dari f(x) = x2 – 2x – 8 dengan x0 = 3 Jawab. Setelah iterasi ke-3 diperoleh akar = 4.00 Iterasi x f(x) f’(x) = 2x - 2 3 -5 4 1 4.25 1.5625 6.5 2 4.009 0.054 6.018 4.00

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Pengantar Misalkan terdapat masalah nilai awal (initial value problem/IVP) y’ = f(x,y) dengan y(a) =  Secara umum, masalah di atas dapat diselesaikan secara numerik Contoh. y’ = y dengan y(0) = 2

Penyelesaian persamaan diferensial biasa Diketahui IVP y’ = f(x,y) dengan y(a) =  Misalkan penyelesaian IVP di atas pada interval [a.b], ambil titik dengan jarak yang sama xn = a + nh , n = 0,1,2,…,N dengan h = (b – a)/N Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan diferensial biasa dapat dilakukan dengan : Metode Euler Metode Taylor Metode Runge Kutta

Metode Euler Merupakan metode yang paling sederhana dalam menyelesaikan IVP Diferensial tingkat pertama sebagai kemiringan (slope) dari kurva fungsi

Dalam menentukan penyelesaian dilakukan dengan iterasi xn = a + nh

Contoh. Tentukan penyelesaian dari di x = 2 dengan h = 0.5 Jawab. Diketahui x0 = 1 dan y0 = 4 berada di interval [1,2] dengan h = 0.5 diperoleh N = 2 (yang berarti ada 2 iterasi)

Untuk iterasi awal n = 0

Iterasi kedua Di titik x = 2 diperoleh y(2) = 5.403509

Metode Taylor Perhatikan deret Taylor di titik x = a berikut. Dari deret Taylor di atas dapat digunakan untuk menghitung IVP. Metode Taylor orde 2

Contoh. Gunakan metode Taylor orde 2 untuk menghitung nilai y(2) dengan h = 0.5 dari Jawab.

Dari soal diketahui h = 0.5, x0= 1 dan y0= 4

Di titik x = 2 diperoleh y(2) = 5.468272

Metode Runge Kutta Pada metode ini, tidak perlu evaluasi derivatif orde tinggi Bentuk umum Atau Dengan

Contoh. Gunakan metode Runge Kutta untuk menghitung nilai y(2) dengan h = 0.5 dari Jawab. Dari soal diketahui h = 0.5, x0= 1 dan y0= 4 Iterasi awal n = 0

Iterasi kedua n = 1

Di titik x = 2 diperoleh y(2) = 5.464395