INTEGRAL GARIS   Di dalam integral Garis kita akan mengintegralkan sepanjang kurva C di dalam ruang (Bidang) dan yang di Integralkan akan merupakan fungsi yang terdefinisi pada setiap sisi dari C. Integral Garis yang lazim adalah panjang Busur, yang dinyatakan dengan : Jika C adalah kurva tertutup (kurva yang memotong dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C yang sering ditunjukkan oleh:

Contoh :   Hitunglah (xy2dx + x2y dy), dengan C adalah Busur Parabola y = x2 dari (-1,1) sampai (0,0) Jawab:   (xy2dx + x2y dy) : = = =

2. Hitunglah , dengan C adalah segitiga dengan ujung-ujung (1,0), (1,1) dan (0,0) Jawab: sebagai parameter dapat digunakan variabel X, integral C terdiri atas 3 potong garis sehingga. Membentuk 3 integral, yaitu = y y=x (1,1) y=x dy=dx III II (0,0) x I (1,0)

I. II. III.

Integral Garis Sebagai Integral Vektor Mis. r(t)i + y(t)j + z(t)k, dimana r(t) adalah vektor posisi dari (x,y,z) mendefinisikan sebuah kurva yang menghubungkan titik-titik P1 dan P2. Mis. A(x,y,z) = A1i + A2j + A3k sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka integeral garis sepanjang C dan P1 ke P2, ditulis sebagai :   Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel yang bergerak sepanjang C, maka integeral garis ini menyatakan usaha yang dilakukan oleh gaya. Jika C adalah kurva tertutup, maka integeral yang mengelilingi C ditunjukan oleh :

Contoh: 1. Carilah usaha total yang dilakukan untuk menggerakan sebuah partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh F = 3xyi – 5 zj + 10 xk sepanjang kurva x = t2 + 1, y = t2, z = t3 dari t = I hingga t = 2 Jawab : Usaha total = = 3xy dx – 5z dy + 10x dz =

2. Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya F=3x2 i+(2xz-y)j+zk sepanjang (a). Garis lurus (0, 0, 0) ke (2, 1, 3) (b). Kurva ruang x=2t2 ,y=t , z=4t2 -t dari t=0 ke t=1 (c). Kurva yang didefinisikan oleh: x2 = 4y, 3x3 =8z dari x=0 ke x=2 Jawab: (a).garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 3) dalam bentuk parameter diberikan oleh: x=2t, y=t dan z=3t F=3x2 i + (2xz-y 2j+zk =12t2 i+ (12t2 – t)j+3 z k dr=dx i+dy.j + d z k =(2i + j + 3k) dt

(b).

(c).

Ketidaktergantungan Integeral Garis Pada Lintasan   Jika fungsi P(x,y,z) dan Q(x,y,z) dan R(x,y,z) didefinisikan dan kontinu dalam Domain D. Integeral garis  P dx + Q dy + R dz dikatakan tidak tergantung pada lintasan di D, jika untuk setiap pasang titik – titik ujung A dan B di D, nilai integeral garisnya adalah : sama untuk semua lintasan C dari A dan B. Nilai integeral hanya tergantung pada pemilihan A dan B, tetapi tidak pada jenis lintasan yang menghubungkan titik A dan B, seperti yang ditunjukan pada gambar dibawah ini: Nilai integeral pada lintasan c1, c2 dan c3 adalah sama. B D C1 C2 C3 A

Teorema Jika A=ΔΦ Pada semua titik dalam suatu daerah J dari ruang, yang didefinisikan oleh : a1 , ≤, x ≤ a2 b1 ≤ y ≤ b2 , c1 ≤ z ≤ c2 , dimana Φ (x,y,z) berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu dalam R, maka: 1. = tidak tergantung pada lintasan C dalam R yang menghubungkan p1 dan p2 2. mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam R. Dalam hal demikian A disebut sebuah medan vektor konservatif dan Φ adalah potensial skalarnya. jadi sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika  xA=0, atau juga ekivalen dengan A=  Φ.

Contoh: Diketahui F=( 2xy+z3 ) i + x2 j+3x z2 k a. tunjukan bahwa F sebuah medan gaya konservatif b. carilah potensial skalar c. carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakan sebuah benda dalam . Medan ini dari (1, -2, 1) ke (3, 1, 4). Jawab: a. Syarat perlu dan cukup agar sebuah daya konservatif adalah Curl F=  xf=0

b. integrasikan (1), (2), dan (3), diperoleh masing-masing Dengan memilih F(y,z)=0, G(x,z)=xz3 dan H(x,y) =x2 y, maka diperoleh: Φ=x2 y +x z3 dengan tambahan sembarang konstanta.

c.

Contoh: Jika A = ( 4 x y – 3 k 2 z 2 ) i + 2 x 2 j – 2 x 3 z k Buktikan bahwa tidak tergantung lintasan c yang menghubungkan dua titik. Jawab : Jika tidak tergantung lintasan , maka A adalah medan konservatif. Kalau A medan konservatif , maka akan berlaku  x A = 0.  x A = = i ( 0 ) – j ( - 6x 2 z + 6 x 2 z ) + k ( 4 x – 4 x ) = 0

TEOREMA GREEN DALAM BIDANG   1. Teorema Green Dalam Bidang Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C dan jika M dan N adalaj fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka dimana C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah putaran jarum jam). Bila tidak ada pernyataan lain, kita akan selalu menganggap berarti bahwa integeralnya dimaksud dalam arah positif.

Contoh : Hitunglah (xy + y2)dx + x2dy, dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh y = x dan y = x2 dengan dengan menggunakan teorema Green dalam bidang. Jawab: =