KALKULUS II TEKNIK INTEGRASI 2 Dosen Pengampu : Gunawan.ST.,MT

2. Integral Fungsi Trigonometri Metode menyelesaikan integral bentuk : 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dengan 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat tak negatif. Integral dengan bentuk 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus reduksi.

2. Integral Fungsi Trigonometri Terdapat metode alternatif lebih sederhana, yang memerlukan identitas trigonometri berikut : 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥= 1 2 (1− cos 2𝑥 ) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥= 1 2 (1+ cos 2𝑥 ) yang diperoleh dari rumus ganda cos 2𝑥 =1−2 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 dan cos 2𝑥 =2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−1

2. Integral Fungsi Trigonometri Contoh : 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥= 1 2 (1− cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥= 1 2 𝑥− 1 4 sin 2𝑥 +𝐶 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥= 1 2 (1+ cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥= 1 2 𝑥+ 1 4 sin 2𝑥 +𝐶

Untuk 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat positif, maka integral 𝑠𝑖𝑛 𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan salah satu dari prosedur berikut : Untuk 𝑚 ganjil, 𝑚=2𝑘+1, 𝑘≥0. Tuliskan : dan gunakan identitas Untuk 𝑛 ganjil, 𝑛=2𝑙+1, 𝑙≥0 .Tuliskan :

Untuk 𝑚 genap, 𝑚=2𝑘, 𝑘≥0. Gunakan identitas terkait Untuk 𝑛 genap, 𝑛=2𝑘, 𝑘≥0.

Contoh 1 dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh : Hitung Jawab : 𝑚=4 →𝑚 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥= 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 2 𝑑𝑥= 1 2 (1− cos 2𝑥 ) 2 = 1 4 1− 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh : 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥= 1 2 1+ cos 4𝑥 = 1 2 + 1 2 cos 4𝑥 Jadi penyelesaiannya, 𝑠𝑖𝑛 4 𝑥 𝑑𝑥= 1 4 3 2 −2 cos 2𝑥 + 1 2 cos 4𝑥 𝑑𝑥= 3 8 𝑥− 1 4 sin 2𝑥 + 1 32 sin 4𝑥 +𝐶

Contoh 2 Hitung Jawab :

Pengintegralan Perpangkatan Sinus dan Cosinus Bentuk Untuk 𝑛 atau 𝑚 ganjil, keluarkan sin⁡𝑥 atau cos⁡𝑥 dan gunakan identitas Untuk 𝑚 atau 𝑛 genap, tuliskan menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas .

Contoh :

Bentuk Gunakan identitas Serta turunan tangen dan kotangen Contoh : a. The hell

b.

Soal Latihan Hitung : 1. 2. 3. 4. 5.

Tugas sin 𝜃 sin 2𝜃 sin 3𝜃 𝑑𝜃 3 𝑠𝑒𝑐 4 3𝑥 𝑑𝑥 0 𝜋 𝑠𝑖𝑛 5 𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑠𝑒𝑐 4 3𝑥 𝑑𝑥 0 𝜋 𝑠𝑖𝑛 5 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

Basic Integration Formulas sinh 𝑥 = cosh 𝑥 +𝐶 cosh 𝑥 = sinh 𝑥 +𝐶 𝑑𝑥 𝑎 2 − 𝑥 2 = 𝑠𝑖𝑛 −1 𝑥 𝑎 +𝐶 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 = 1 𝑎 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑥 𝑎 +𝐶 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 2 − 𝑎 2 = 1 𝑎 𝑠𝑒𝑐 −1 𝑥 𝑎 +𝐶 𝑑𝑥 𝑎 2 + 𝑥 2 = 𝑠𝑖𝑛ℎ −1 𝑥 𝑎 +𝐶, (𝑎>0) 𝑑𝑥 𝑥 2 − 𝑎 2 = 𝑐𝑜𝑠ℎ −1 𝑥 𝑎 +𝐶, (𝑥>𝑎>0)

THANK YOU 謝謝