Operasi Matriks Dani Suandi, M.Si.

Kesamaan Dua Matriks Definisi Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Kesamaan Dua Matriks Definisi Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, 1  i  m, 1  j  n yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama. • Contoh : Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Operasi Pada Matriks Penjumlahan (addition) Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Pada Matriks Penjumlahan (addition) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Operasi Pada Matriks Pengurangan (subtruction) Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Pada Matriks Pengurangan (subtruction) Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ukurannya sama maka selisih A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Operasi Pada Matriks Perkalian Skalar Pada Matriks Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Pada Matriks Perkalian Skalar Pada Matriks Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing- masing entri dari A oleh c. 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Contoh Soal + Penyelesaian Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Soal + Penyelesaian Jika Maka: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Perkalian Dua Buah Matriks Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Perkalian Dua Buah Matriks Matriks Amxn dapat dikalikan dengan matriks Bpxq jika dan hanya jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. ( n = p) AmxnBnxq = Cmxq A=[aij] mxn dan B= [bij] nxq maka C = [cij]mxq dengan 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Contoh Soal + Penyelesaian Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Soal + Penyelesaian Tentukan AB dan BA jika: Jawab: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Contoh Soal + Penyelesaian Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Soal + Penyelesaian 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Let A, B, C be matrix in the same order and Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Let A, B, C be matrix in the same order and ,  be element of Real number, Then we have some properties as follow : A + B = B + A A + ( B + C ) = ( A + B ) + C  ( A + B ) = A + B ( +  ) ( A ) = A + A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Latihan Soal 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Aljabar Linear Elementer

Operations on Matrices Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operations on Matrices Transpose of a Matrix Definition If A is any m x n matrix, then the transpose of A, denoted by AT, is defined to be the n x m matrix that the results from interchanging the rows and columns of A Example : transpose of a matrix If A = At then A is called symmetry. Example: 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Operations on Matrices Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operations on Matrices Transpose of a Matrix ((A)t)t = A (A + B)t = At + Bt (A - B)t = At - Bt (kA)t =kAt, k is scalar (AB)t = BtAt 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Operations on Matrices Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operations on Matrices Trace of a Matrix Definition If A is n x n square matrix, then the trace of A, denoted by tr(A), is defined to be the sum of the entries on the main diagonal of A, or given by formula tr(A) = a11+a22+…+ann Example : trace of a matrix tr(A) = 1+5+9=15 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Example : Let : Find A At At A 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Example : Let : Find A At At A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Answer : Then 5 4 -2 -2 13 -3 -2 -3 1 And 14 -4 -4 5 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Answer : Then 5 4 -2 -2 13 -3 -2 -3 1 And 14 -4 -4 5 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Exercises Let , and Find (for no 1 – 4) : 1. AB 2. 3CA 3. (AB)C Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Exercises Let , and Find (for no 1 – 4) : 1. AB 2. 3CA 3. (AB)C (4B)C + 2C 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

7. Find 7tr(D) and tr(7D). How the conclusions? 8. Find tr(4Et – 2D2) Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Let and 5. Find D + E2 (hint : E2 = EE) 6. Find 3(DE)t and also 3DtEt and 3EtDt. Which one have the same result? Why? 7. Find 7tr(D) and tr(7D). How the conclusions? 8. Find tr(4Et – 2D2) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Latihan Soal 2. Diberikan matriks : Jika mungkin, hitunglah : a. (AB)t c. AtBt e. (Bt + A)C b. BtAt d. BtC + A 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Operasi Baris Elementer Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Operasi Baris Elementer Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 Pertukaran Baris Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh : OBE 2 Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol Contoh : OBE 3 Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol dengan baris yang lain. Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼ Perkalian (–2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b3) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Definisi yang Perlu DIketahui Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Definisi yang Perlu DIketahui Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 2 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol. 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Sifat-Sifat Matriks Hasil OBE Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Sifat-Sifat Matriks Hasil OBE Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan eselon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan eselon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat 1, 2, 3, dan 4 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Contoh Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari: Solusi 01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Contoh Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari: Solusi 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

01/12/2018 Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Aljabar Linear Elementer

Perhatikan hasil OBE tadi : Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Perhatikan hasil OBE tadi : Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena Jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama) 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Latihan Soal Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks Moh. Januar Ismail B, M.Si. 12/1/2018 Latihan Soal Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks berikut: 1. 2. 3. 4. 01/12/2018 Aljabar Linear Elementer

Inverse Matrix Let A be a square matrix. B is said a inverse of A if A B = I dan B A = I Otherwise, A is called inverse of B. Denoted by A = B-1 How to get inverse matrix? ERO ~ If A doesnot have reduced row echelon then A is not invertible December 1, 2018

Example : Find a inverse matrix : Answer : -1 -1 1 -3 1 2 1 -3b1+b2 -1 -1 1 -3 1 2 1 December 1, 2018

-b2 -b3+ b2 -b2+ b1 So, Inverse Matrix of A is 1 1 -1 3 1 -1 1 -1 1 1 1 December 1, 2018

We know : and So December 1, 2018

Some properties of Inverse matrices : (A-1)-1 = A If A, B invertible then (A . B)-1 = B-1 . A-1 iii. Let k  Riil then (kA)-1 = iv. Corollary of (ii) : (An)-1 = (A-1)n December 1, 2018

Exercise of Chapter 1 1. Which matrices below are in row echelon form or reduced row echelon form or neither? Why? December 1, 2018

Find reduced row echelon form of A, B, C, D, E, F ! 2. If Find reduced row echelon form of A, B, C, D, E, F ! Find inverse matrix of B and D using ERO (if any) ! December 1, 2018