Proposisi Majemuk Pertemuan Ke-4 Ridwan, S.T., M.Eng

Pengantar Perangkai Logika digunakan untuk mengkombinasikan proposisi-proposisi atomik menjadi proposisi-proposisi majemuk. Untuk menghindari kesalahan tafsir akibat adanya ambiguitas satu orang dengan lainnya, proposisi majemuk yang akan dikerjakan lebih dulu akan diberi tanda kurung sehingga proposisi-proposisi dengan perangkai-perangkai yang berada di dalam kurung di sebut Fully parenthesized ekspression (fpe) Contoh : ((A →B) ∧ C) dan (A→( (B ∧ C)) Proposisi majemuk yang sangat rumit dapat dipecah-pecah menjadi subekspresi- subekspresi. Teknik ini dinamakan Parsing

Ekpresi Logika Ekspresi logika merupakan istilah lain logika proposional Ekspresi logika sebenaranya adalah Proposisi-proposisi yang dibangun dengan variabel-variabel logika yang berasal dari pernyataan atau argumen Varibel logika berupa huruf-huruf tertentu yang dirangkai dengan perangkai/operator logika dapat dinamakan ekspresi logika atau formula Setiap ekspresi logika dapat bersifat atomik atau majemuk, tergantung dari variabel proposisional yang membentuknya bersama perangkai/operator yang relevan. Contoh A^B ¬B

Contoh Ekspresi Logika Jika anda belajar rajin dan semangat belajar, maka anda lulus ujian, Variabel logika proposisinya: A = anda belajar B = anda semangat belajar C = anda lulus ujian Ekspresi logika ((A ∧ B)→C)

CONTOH PROPOSISI MAJEMUK Jika Dewi rajin belajar, maka ia lulus ujian dan ia mendapatkan hadiah istimewa Variabel logika Proposisi A = Dewi rajin belajar B = Dewi lulus ujian C = Dewi mendapat hadiah istimewa Dalam bentuk variabel logika berubah menjadi ekpresi Logika : A → B^C ((A →B) ^C) atau (A→( (B^C)) yang mana neeehhh...??? (Permasalahannya)

Skema Skema merupakan cara untuk menyederhanakan suatu proposisi majemuk yang rumit dengan memberi huruf tertentu untuk menggantikan suatu subekpresi ataupun sub-subekspresi. Suatu ekspresi logika tertentu, misal (A ∧ B) dapat diganti dengan P, sedangkan (A ∨ B) dapat diganti dengan Q. Jadi P berisi variabel proposisional A dan B, demikian juga Q. Dalam hal ini, P maupun Q bukan variabel proposisional

Contoh Skema P = (A ˄ B) dan Q = (A ˅ B), maka (P→Q) = ((A ˄ B) → (A ˅ B)) Perhatikan bahwa : 1. Ekspresi apa saja yang berbentuk ( ¬ P) disebut Negasi 2. Ekspresi apa saja yang berbentuk (P ˄ Q) disebut Konjungsi 3. Ekspresi apa saja yang berbentuk (P ˅ Q) disebut Disjungsi 4. Ekspresi apa saja yang berbentuk (P → Q ) disebut Implikasi 5. Ekspresi apa saja yang berbentuk ( P ↔ Q) disebut Ekuivalensi (biconditional)

Maka contoh di atas disebut yang berisi konjungsi (A ˄ B) dan disjungsi (A ˅ B). Aturan yang harus diperhatikan: Semua ekspresi atomik adalah fpe (fully parenthisized expression) a. Jika P adalah fpe, demikian juga dengan ¬ P b. Jika P dan Q adalah fpe,maka demikian juga dengan ( P ˄ Q), (P ˅ Q ), (P→Q) dan (P↔Q) c. Tidak ada tipe lainnya.

Contoh fpe  A→(B→(¬Av¬B))  A →(B→ ¬ A v ¬ B ))  A→(B→( ¬ A v ¬ B ) Untuk dua contoh terakhir ini tidak menunjukan fpe yang baik karena tanda kurung biasa tidak lengkap dan tidak ada perangkai pada dua proposisi majemuk yang berada pada tanda kurung

Perangkai Utama dan Sub Perangkai

Analisis Proposisi Majemuk Setiap fpe akan mengekspresikan proposisi majemuk. Proposisi majemuk mempunyai subproposisi, yang bisa berupa konjungsi, disjungsi dan sebagainya. 1. Jik Dewi Lulus Sarjana teknik informatika, maka orang taunya akan senang, dan dia dapat segera bekerja, tetapi jika dia tidak lulus,maka semua usahanya akan sia- sia. Analisis 1.1 = Jika Dewi Lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja. 1.2 = Jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia.

Sub proposisi Kiri 1.1 Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika, orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja. Sub proposisi skop kiri = Jika Dewi lulus sarjana teknik informatika = Orang tuanya akan senang, dan dia dapat segera bekerja Sub sub proposisi skop kiri = Orang tuanya akan senang = Dia dapat segera bekerja

Sub proposisi skop kanan 1.2 Jika dia tidak lulus, semua usahanya akan sia-sia Sub proposisi skop kanan = Dia tidak lulus = Semua usahnya akan sia-sia. Teknik memisah-misah atau memilah-milah kalimat menjadi proposisi- proposisi atomik disebut Parsing Hasilnya dapat diwujudkan dalam bentuk Parse Tree

Parse Tree

Parse Tree mengubah proposisi majemuk Parse Tree mengubah proposisi majemuk menjadi fpe sebagai berikut: A = Dewi lulus sarjana teknik informatika B = Orang tua dewi senang C = Dewi Bekerja D = Usaha Dewi sia-sia Selanjutnya, pernyataan di atas yang berupa proposisi majemuk dapat dibuat fpe sebagai berikut: (A →(B ∧ C) ∧ ((¬A)→D)

Aturan Pengurutan Aturan pengurutan digunakan untuk memastikan proses pengerjaan subekspresi. Pada masalah perangkai, urutan atau hierarkinya berdasarkan pada hierarki tertinggi. Unruk perangkai/operator yang memiliki hirarki yang sama maka digunakan aturan left assoiative, yaitu opertator di sebelah kiri akan didahulukan karena mempunyai hierarki yang lebih tinggi. Contoh : P V Q V R ≡ (P V Q) V R P →Q →R≡(P →Q) →R

Tabel Hierarki Perangkai Untuk menjaga kebenaran sebuah pernyataan maka setiap operator/penghubung diberikan aturan yang lebih tinggi Hierrarki KeSimbol PerangkaiNama Perangkai 1¬Negasi 2^Konjungsi 3 V Disjungsi 4→Implikasi 5↔Ekuivalensi

Contoh penerapan “Aturan pengurutan” 1. (¬A ∧ B) menjadi ((¬A) ∧ B), bukan (¬(A ∧ B) 2. ∧ B ∨ C menjadi (( ∧ B) ∨ C), bukan ( ∧ (B ∨ C)) 3. → B ∧ C menjadi → (B ∧ C) bukan ( → B) ∧ C 4. ↔ B → C menjadi ( ↔ (B → C)), bukan (( ↔ B) → C)

Menganalisis Proposis Majemuk Contoh 1: 1. Jika anda mengambil mata kuliah logika, dan anda tidak memahami tautology, maka anda tidak lulus mata kuliah tersebut Variabel proposisinya: A = Anda memahami mata kuliah logika B = anda memahami tautology C = Anda lulus mata kuliah Ekspresi Logika (A ∧ ¬B) → ¬C

Menganalisis Proposis Majemuk Jika anda belajar rajin dan sehat, maka anda lulus ujian, atau jika anda tidak belajar rajin dan tidak sehat, maka anda tidak lulus ujian. Variabel proposisinya: A = anda belajar B = anda sehat C = anda lulus ujian Ekspresi logika ((A ∧ B)→C) ∨ (¬A ∧ ¬B) → ¬C)

Ubah menjadi ekspresi Logika Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak mampu menangkapnya Bowo membeli saham dan membeli properti untuk investasinya, atau dia dapat menanamkan uang di deposito bank dan menerima bunga uang

Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak mampu menangkapnya A = Tikus itu waspada B = Tikus bergerak cepat C = Kucing itu mampu menangkapnya D = Anjing itu mampu menangkapnya Ekspresi logika berubah menjadi (A ˄ B) → (¬C ∨ ¬D)

Berilah tanda kurung sehingga tidak menjadi ambiguitas A ˄ B ˄ C→D A ∨ B ∨ C ↔ ¬D ¬A ˄ B→¬C ˄ D A→B↔¬C→¬D A ∨ B ˄ C→A ˄ B ∨ C

Berilah tanda kurung sehingga tidak menjadi ambiguitas A ∧ B ∧ C→D Menjadi (((A ∧ B) ∧ C) →D) ¬A ˄ B→¬C ˄ D Menjadi ((¬A) ˄ B) → ((¬C) ˄ D)