ASSALAMU’ALAIKUM. WR.WB

GEOMETRI ANALITIK DATAR Pertemuan 13 RINA AGUSTINA, M. Pd.

Hiperbola DEFINISI Suatu hiperbola adalah himpunan titik/tempat kedudukan titik-titik yang titiknya memenuhi syarat bahwa: selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap. Y 𝐹 2 (-c,0) 𝐹 1 (c,0) X O T a

Misalkan 𝐹 2 (−𝑐,0) dan 𝐹 1 𝑐,0 dan T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) suatu titik pada tempat kedudukan. T 𝐹 2 - T 𝐹 1 = 2a, dimana (2a < 2c) ( 𝑥 1 +𝑐) 2 + 𝑦 1 2 − ( 𝑥 1 −𝑐) 2 + 𝑦 1 2 = 2a ( 𝑥 1 +𝑐) 2 + 𝑦 1 2 = 2a + ( 𝑥 1 −𝑐) 2 + 𝑦 1 2 Jika kedua ruas dikuadratkan, diperoleh: 𝑥 1 2 +2c 𝑥 1 + 𝑐 2 + 𝑦 1 2 = 4 𝑎 2 + 𝑥 1 2 −2c 𝑥 1 + 𝑐 2 + 𝑦 1 2 + 4𝑎 ( 𝑥 1 −𝑐) 2 + 𝑦 1 2

Jika kedua ruas dikuadratkan, diperoleh: 4c 𝑥 1 - 4 𝑎 2 = 4𝑎 ( 𝑥 1 −𝑐) 2 + 𝑦 1 2 c 𝑥 1 − 𝑎 2 = 𝑎 ( 𝑥 1 −𝑐) 2 + 𝑦 1 2 Jika kedua ruas dikuadratkan, diperoleh: 𝑐 2 𝑥 1 2 −2𝑐 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑎 4 = 𝑎 2 𝑥 1 2 −2𝑐 𝑥 1 𝑎 2 + 𝑎 2 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑦 1 2 ( 𝑐 2 −𝑎 2 ) 𝑥 1 2 − 𝑎 2 𝑦 1 2 = 𝑎 2 (𝑐 2 − 𝑎 2 ) Jika ( 𝑐 2 −𝑎 2 )= 𝑏 2 , maka diperoleh : 𝑏 2 𝑥 1 2 − 𝑎 2 𝑦 1 2 = 𝑎 2 𝑏 2 Apabila koordinat T berjalan, maka diperoleh

Persamaan tempat kedudukan T adalah : 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑏 2 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 Persamaan ini disebut persamaan pusat hiperbola. Titik O disebut titik pusat hiperbola. 𝐹 1 dan 𝐹 2 disebut titik-titik api.

Sumbu X dan Y disebut sumbu-sumbu simetri. Karena titik potong hiperbola dan sumbu X adalah nyata, maka sumbu X disebut sumbu nyata. Karena titik potong hiperbola dan sumbu Y adalah imaginer (tidak nyata), maka sumbu Y disebut sumbu imaginer. Puncak-puncak hiperbola terletak pada sumbu X. Eksentrisitas numeriknya 𝑒= 𝑐 𝑎 >1

Asimtot Hiperbola Akan dicari titik-titik potong hiperbola 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 dengan garis 𝑦=𝑚𝑥 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑏 2 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 (𝑚𝑥) 2 = 𝑎 2 𝑏 2 ( 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 ) 𝑥 2 = 𝑎 2 𝑏 2 𝑥 2 = 𝑎 2 𝑏 2 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 𝑥= 𝑎𝑏 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2

Koordinat-koordinat titik potong adalah: 𝑥= 𝑎𝑏 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 dan y= 𝑎𝑏𝑚 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 Jika 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 >0, maka ada dua titik potong. Jika 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 <0, maka tidak ada titik potong. Jika 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 =0, maka titik-titik potongnya di jauh tak terhingga.

𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 =0 𝑚 2 = 𝑏 2 𝑎 2 𝑚=± 𝑏 𝑎 maka garis 𝑦=± 𝑏 𝑎 𝑥 menyinggung hiperbola dijauh tak terhingga. Garis-garis 𝑦=± 𝑏 𝑎 𝑥 disebut asimtot-asimtot hiperbola.

Misalkan 𝑇 1 ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) suatu titik pada hiperbola dan 𝑇 2 ( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) suatu titik pada asimtot yang absisnya sama, maka berlaku: 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑏 2 𝑦 1 2 = 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑏 2 𝑎 2 𝑦 1 2 = 𝑏 2 𝑎 2 ( 𝑥 2 − 𝑎 2 ) 𝑦 1 =± 𝑏 𝑎 𝑥 1 2 − 𝑎 2 dan 𝑦 2 =± 𝑏 𝑎 𝑥 1

𝑦 1 − 𝑦 2 = ± 𝑏 𝑎 ( 𝑥 1 2 − 𝑎 2 −𝑥 1 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑦 1 − 𝑦 2 = ± 𝑏 𝑎 lim 𝑥 1 →∞ ( 𝑥 1 2 − 𝑎 2 −𝑥 1 ) = ± 𝑏 𝑎 lim 𝑥 1 →∞ ( 𝑥 1 2 − 𝑎 2 −𝑥 1 ).( 𝑥 1 2 − 𝑎 2 +𝑥 1 ) ( 𝑥 1 2 − 𝑎 2 +𝑥 1 ) = ± 𝑏 𝑎 lim 𝑥 1 →∞ 𝑥 1 2 − 𝑎 2 − 𝑥 1 2 𝑥 1 1− 𝑎 2 𝑥 1 2 +1 = ∓ 𝑏 𝑎 lim 𝑥 1 →∞ − 𝑎 2 𝑥 1 1− 𝑎 2 𝑥 1 2 +1 =± 𝑏 𝑎 . 𝑎 2 lim 𝑥 1 →∞ 1 𝑥 1 1− 𝑎 2 𝑥 1 2 +1 = ±𝑏𝑎.0=0

Jadi untuk 𝑥 1 →∞ hiperbola mendekat asimtot Jadi untuk 𝑥 1 →∞ hiperbola mendekat asimtot. Persamaan asimtot – asimtot hiperbola dapat ditulis 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 =0 dan 𝑥 𝑎 − 𝑦 𝑏 =0 atau 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =0

Garis Arah (Direktris) Hiperbola Y X T M N 𝐹 1 𝑑 1 𝑑 2 𝐹 2 𝑥=− 𝑎 2 𝑐 𝑥= 𝑎 2 𝑐

Titik Q ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) terletak pada hiperbola

2 𝑑 2 = 2𝑐 𝑥 1 𝑎 +2𝑎 2 𝑑 1 = 2𝑐 𝑥 1 𝑎 −2𝑎 𝑑 2 = 𝑐 𝑥 1 𝑎 +𝑎 𝑑 1 = 𝑐 𝑥 1 𝑎 −𝑎 𝑑 2 = 𝑐 𝑎 ( 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐 ) 𝑑 1 = 𝑐 𝑎 ( 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 ) 𝑑 2 = 𝑐 𝑎 .𝑇𝑁 𝑑 1 = 𝑐 𝑎 .𝑇𝑀 𝑑 2 𝑇𝑁 = 𝑐 𝑎 𝑑 1 𝑇𝑀 = 𝑐 𝑎 Jadi garis-garis 𝑥=± 𝑎 2 𝑐 disebut garis arah atau direktris dari persamaan hiperbola.

Dengan diperoleh persamaan garis direktris, maka terdapat definisi lain dari hiperbola, yaitu: Suatu hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu tetap besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari satu 𝑒= 𝑐 𝑎 >1 𝑒= 𝑐 𝑎 >1 . Titik itu disebut titik api dan garisnya disebut garis arah.

Contoh Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titik apinya terletak pada sumbu X, simetris terhadap O dan melalui titik M (-5, 3) dan eksentrisitas numeriknya 𝑒= 2 !

Penyelesaian : Persamaan hipernola berbentuk : 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 Titik M (-5, 3) pada hiperbola, berarti : 25 𝑎 2 − 9 𝑏 2 =1 atau 25 𝑏 2 = 𝑎 2 𝑏 2 +9 𝑎 2 Karena 𝑒= 𝑐 𝑎 = 2 maka 𝑐 2 =2 𝑎 2 Pada hiperbola berlaku 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 , maka 2𝑎 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 atau 𝑎 2 = 𝑏 2 Akibatnya 25𝑏 2 = 𝑏 4 + 9𝑏 2 atau 𝑎 2 = 𝑏 2 =16

Penyelesaian : Jadi persamaan hiperbola yang titik-titik apinya terletak pada sumbu X, simetris terhadap O dan melalui titik M (-5, 3) dan 𝑒= 2 adalah : 𝑥 2 16 − 𝑦 2 16 =1

TUGAS MANDIRI: 1. Tentukan persamaan hiperbola yang titik-titik apinya terletak pada sumbu X, simetris terhadap O, jarak antara kedua direktrisnya 8 3 dan eksentrisitasnya 𝑒= 3 2 ! 2. Titik T (-3, -5) terletak pada hiperbola yang titik apinya F (-2, -3) dan garis arah yang bersesuaian dengan titik api ini adalah x + 1 = 0. Tentukan persamaan hiperbola yang memenuhi syarat di atas !

WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB SELAMAT BELAJAR WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB