BAB 6: TRANSFORMASI LINIER Pengertian Transformasi Transformasi Vektor Linier Matriks Transformasi Produk Transformasi Transformasi Invers Nilai eigen dan vektor eigen

1. Pengertian Transformasi Misalkan 2 buah himpunan A dan B. Suatu fungsi f : A → B , jika mengaitkan setiap x ϵ A dengan tepat satu y ϵ B . Di mana: a ᶠ 2 b ᶠ 1 c ᶠ 2 f adalah fungsi A → B. Himpunan A adalah domain. Himpunan B adalah kodomain. Selanjutnya digunakan perkataan transformasi sebagai pengganti perkataan fungsi. a b c 1 2

1. Pengertian Transformasi Contoh: Tentukan peta dari [2, -1, 4], jika diketahui suatu transformasi T : R³ → R³ untuk setiap x = [x1 , x2 , x3] ϵ R³ dengan rumus transformasinya sebagai berikut: a) T [x1 , x2 , x3] = [x2 , 2x2 – x1 , x3] b) T [x1 , x2 , x3] = [x1 , x2 + x3 , x1 – x3] c) T [x1 , x2 , x3] = [x3 , x1 + x3 , x1 – x3] d) T [x1 , x2 , x3] = [x1, x2 + x3, x1 + x3] e) T [x1 , x2 , x3] = [x1, x2 + x3, –x3]

2. Transformasi Vektor Linier Transformasi linier banyak dipakai dalam bidang-bidang seperti ekonomi, fisika, keteknikan, dll. Khusus untuk informatika banyak sekali dipakai dalam bidang citra (image). Transformasi vektor linier yaitu pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yang memenuhi aksioma kelinieran. Aksioma kelinieran yang dimaksud adalah sebagai berikut: Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap dan berlaku : Jika V = W maka T dinamakan operator linear

Contoh : Tunjukan bahwa T : R2  R3, dimana merupakan tranformasi linear. Jawab : Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan (i) Akan ditunjukan bahwa 10/01/2019 18:09

10/01/2019 18:09

(ii) Ambil unsur sembarang Jadi, T merupakan transformasi linear. 10/01/2019 18:09

Contoh 2 : Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A  M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier. Jawab : Misalkan maka untuk setiap  R berlaku det (A) = 10/01/2019 18:09

(i) Ambil unsur sembarang R^3, Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A) Jadi T bukan transformasi linier. Contoh 3 : Diketahui T : R^3  R^2, dimana a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan Jawab : (i) Ambil unsur sembarang R^3, 10/01/2019 18:09

Sehingga Perhatikan bahwa 10/01/2019 18:09

Ambil unsur sembarang R3, dan   R, sehingga Jadi, T adalah transformasi linear b. 10/01/2019 18:09

Latihan Soal Transformasi Vektor Linier Diketahui rumus Transformasi Vektor sebagai berikut: 1. T : R3  R3 T[x1, x2, x3] = [x2, 2x2 – x1, x3]. 2. T : R3  R3 T[x1, x2, x3] = [2x1 + 3x2 + x3, 3x3 + 2x2 – 3, 2x1 – 2x2]. Apakah rumus transformasi di atas merupakan transformasi vektor linier?, Tunjukkan dengan jelas.

3. Matriks Transformasi Suatu transformasi linear T : Rn  Rm dapat direpresentasikan dalam bentuk :  Amxn dinamakan matriks transformasi dari T. Contoh 1: Misalkan, suatu transformasi linear T : R2  R3 didefinisikan oleh : untuk setiap  V.

Jawab : Perhatikan bahwa Jadi matriks transformasi untuk T : R2  R3 adalah Jika T : Rn  Rm merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah m x n 10/01/2019 18:09

Contoh 2: Misalkan, suatu transformasi linear T : R3  R3 didefinisikan oleh rumus transformasi sbb: T[x, y, z] = [y, 2y + x, z] Carilah matriks Transformasi dari [2, 2, 1]! Jawab : Perhatikan bahwa Jadi matriks transformasi dari [2, 2, 1] adalah = matriks transformasi 1 2 x y z 1 2 2 1 2 6 1 10/01/2019 18:09

ST disebut produk transformasi dari S ke T Pandang 2 buah transformasi linier T : Vn  Wr S : Wr  Um dengan matriks transformasi berturut-turut A dan B. Setiap vektor v oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av , kemudian hasilnya w oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B (Av) = (BA) v v w u  V n  W r T S  V n  W r  U m w = Av u = Bw = B (Av) = B A (v) v u : transformasi baru ST dengan matriks transformasi BA ST disebut produk transformasi dari S ke T

Diketahui rumus transformasi sebagai berikut: Contoh : Diketahui rumus transformasi sebagai berikut: T : R3  R3 dengan T[x1, x2, x3] = [x1 + 2x2, x2 + x3, x1] S : R3  R3 dengan S[x1, x2, x3] = [3x2 + x3, x1 + x3, x1 + 2x2 + x3] Tentukan: Matriks transformasi dari T! Matriks transformasi dari S! Matriks transformasi ST! Rumus dari produk transformasi ST! Peta dari [2, 1, 0] oleh matriks transformasi ST! 10/01/2019 18:09

5. Transformasi Invers Pandang 2 buah transformasi linier T : Vn  Wr S : Wr  Vn dengan matriks transformasi berturut-turut A dan B v w v = B.w w = A.v Produk transformasi ST (dengan matriks transformasi BA) : (BA) v = B (Av) = B . w = v = I . v , ( I : matriks Identitas) Produk transformasi TS (dengan matriks transformasi AB) : (AB) w = A (Bw) = A . v = w = I . w , ( I : matriks Identitas) T  V n  W r S

Dituliskan: S = T ˉ¹ atau T = Sˉ¹ B = Aˉ¹ atau A = B ˉ¹ Contoh: Bila A dan B matriks-matriks transformasi dari transformasi linier T dan S dimana berlaku BA = AB = I, maka dikatakan S adalah transformasi invers dari T dan sebaliknya T adalah transformasi invers dari S. Dituliskan: S = T ˉ¹ atau T = Sˉ¹ B = Aˉ¹ atau A = B ˉ¹ Contoh: Carilah vektor v jika diketahui vektor w = [-2, 2, 3] adalah peta dari v oleh transformasi T dengan matriks transformasi A = 1 2

6. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi : Misalkan Anxn matriks matriks persegi, adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi : maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen dari A .

Contoh : A = dan , maka Nilai eigen 5 10 Vektor eigen 10/01/2019 18:09

Perhatikan !!! Ingat…. merupakan vektor tak nol Ini Berarti Persamaan Karakteristik 10/01/2019 18:09

Tentukan nilai eigen dari matriks Contoh : Tentukan nilai eigen dari matriks Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0 10/01/2019 18:09

Dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-2 (1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0 (1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0 (1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0 Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu : λ = −1, λ = 1, dan λ = 2. Contoh : Tentukan Nilai eigen dari : 10/01/2019 18:09

Nilai eigen dari A diperoleh saat Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saat   (λ – 2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0  (λ – 2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0  (λ – 2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0  (λ – 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0  (λ – 1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0  (λ – 1)2( λ – 4) = 0 10/01/2019 18:09

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen Contoh : Tentukan nilai eigen dan vektor eigen Persamaan Karakteristiknya adalah      10/01/2019 18:09

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan Untuk Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah vektor tak nol yang berbentuk , dimana t merupakan parameter. 10/01/2019 18:09

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan Untuk Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah vektor tak nol yang berbentuk , dimana t merupakan parameter 10/01/2019 18:09

Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks Contoh : Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks Jawab : Persamaan karakteristik dari matriks A adalah : atau 10/01/2019 18:09

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor : Pilih Baris I Sehingga diperoleh nilai eigen 10/01/2019 18:09

, dimana t adalah parameter tak nol Untuk Dengan OBE maka , dimana t adalah parameter tak nol Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah 10/01/2019 18:09

, dimana t adalah parameter tak nol Untuk Dengan OBE maka , dimana t adalah parameter tak nol Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah 10/01/2019 18:09

, dimana t adalah parameter tak nol Untuk Dengan OBE maka , dimana t adalah parameter tak nol Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah 10/01/2019 18:09

TERIMA KASIH