PERTEMUAN Ke- 2 STATISTIKA EKONOMI II Variabel Acak dan Nilai Harapan Moraida Hasanah, S.Si., M.Si

Vaeriabel Acak Kontinu Variabel Acak Variabel Acak adalah sesuatu yang dinyatakan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel Acak Variabel Acak Diskrit Vaeriabel Acak Kontinu Variabel Acak Kontinu yaitu mengambil nilai – nilai yang dihasilkan dari suatu pengukuran Variabel Acak Diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah yang dihasilkan dari hasil perhitungan By : Moraida Hasanah, S.Si., M.Si 2/16/2019

Variabel Acak Diskrit Variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yg umumnya dihasilkan dari perhitungan suatu objek. Variabel acak diskrit tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak pecahan.

Variabel Acak Kontinu Variabel Acak Kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval, atau variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu. Nilainya dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan.

Kemungkinan Nilai Variabel Acak Kemungkinan Nilai Variabel Acak Contoh Variabel Acak Diskrit Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai Variabel Acak Penjualan mobil Jenis kelamin pembeli 0 jika laki – laki 1 jika perempuan Penelitian terhadap 50 produk baru Banyak produk rusak 0,1,2,….,50 Pencatatan pengunjung restoran X dalam satu hari Banyak pengunjung 0,1,2,3,…. Contoh Variabel Acak Kontinu Percobaan Variabel Acak Kemungkinan Nilai Variabel Acak Membangun proyek perkantoran setelah 6 bulan Persentase proyek 0≤ x ≤ 100 Isi botol minuman (max=600mL) Jumlah dalam mililiter 0≤ x ≤ 600 Penimbangan 20 paket kemasan(max=2 kg) 0≤ x ≤ 2 By : Moraida Hasanah, S.Si., M.Si 2/16/2019

Distribusi Probabilitas Variabel Acak Diskrit Distribusi variabel acak menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai – nilai variabel acak tersebut. Untuk variabel diskit X, distribusi probabilitas didefenisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai : p(x) = P(X=x) = probabilitas bahwa variabel X (huruf besar) mengambil nilai x (huruf kecil) Sebagai ilustrasi dari variabel acak diskrit dan distribusi probabilitasnya sebagai berikut. Jumlah mobil terjual dalam sehari Jumlah hari 54 1 117 2 72 3 42 4 12 5 Total 300 By : Moraida Hasanah, S.Si., M.Si 2/16/2019

Next... Jika X  menyatakan jumlah mobil terjual perhari, p(0)  menyatakan probabilitas 0 mobil terjual perhari P(1)   menyatakan probabilitas 1 mobil terjual perhari Berdasarkan informasi di atas maka…54 hari dari 300 hari 0 terjual maka probabilitasnya adalah 54/300=0,18 x P(x) 0,18 1 0,39 2 0,24 3 0,14 4 0,04 5 0,01 Total 1,00 By : Moraida Hasanah, S.Si., M.Si 2/16/2019

Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit: p(x) ≥ 0 atau 0 ≤ p(x) ≤ 1 ∑p(x) = 1 Distribusi probabilitas dapat disajikan dalam bentuk: Grafik Tabel Catatan: Fungsi distribusi probabilitas tidak boleh negatif dan 2 syarat yang sudah disebutkan harus terpenuhi By : Moraida Hasanah, S.Si., M.Si 2/16/2019

Grafik fungsi Probabilitas Distribusi probabilitas di atas dapat dinyatakan dengan rumus (fungsi): P(x) = x/10, Untuk x = 1,2,3 atau 4 Fungsi distribusi tdk boleh negatif & syarat sblumnya harus terpenuhi.

Fungsi Probabilitas Kumulatif Variabel Acak Diskrit Fungsi probabilitas kumulatif digunakan untuk menyatakan jumlah dari seluruh nilai yang ditetapkan.misalnya kita ingin menghitung beberapa probabilitas bahwa mobil terjual dalam sehari kurang dari atau sama dengan 3. Maka, P(x≤3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 0.18 + 0.39 + 0.24 + 0.14 = 0.95. Secara matematis fungsi probabilitas kumulatif dinyatakan sebagai berikut. F(x) = P(X ≤ x) By : Moraida Hasanah, S.Si., M.Si 2/16/2019

Dimana F(x) = P(X ≤ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x Fungsi probabilitas kumulatif dapat dimuat dalam tabel sebagai berikut. x F(x) 0,18 1 0,57 = (0,18+0,39) 2 0,81 = (0,57+0,24) 3 0,95 = (0,81+0,14) 4 0,99 = (0,95+0,04) 5 1,00 = (0,99+0,01) Moraida Hasanah, S.Si., M.Si

Jadi jika fungsi kumulatif disajikan dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut :

Fungsi Probabilitas Bersama (Joint Probability) Pada Variabel acak dan distribusi probabilitas telah dibatasi hanya untuk ruang sample berdimensi satu, dalam arti bahwa hasil-hasil yg diperoleh sari suatu percobaan merupakan nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah (variabel) acak. Dalam prakteknya banyak kondisi yang menghendaki kita untuk mencatat. Sehingga untuk dinyatakan dalam bentuk formula kita ambil suatu contoh yaitu X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam kasus variabel acak diskrit tersebut dinyatakan dalam :

f(x,y) = p(X=x, Y=y) Dimana : Formula Fungsi Probabilitas Bersama f(x,y) adalah pernyataan peluang bahwa x dan y terjadi secara brsamaan.

Variabel Diskrit Hasil Lemparan Dadu Dua kali X\Y 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66

Distribusi Probabilitas Bersama, p(x,y) 1 2 3 4 5 6 1/36

Nilai Harapan dan Varians dari Variabel Acak Diskrit Nilai Harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil ( outcome ).

Nilai Harapan Variabel Acak Diskrit E ( X )= x = xi.f (x) atau E ( X )= x = (xi.P(x)) Dimana : Xi = nilai ke i dari variabel acak X P(xi) = probabilitas terjadinya xi

Contoh : X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) = probabilitas X = x. X 1 2 3 P(x) 0,125 0,375 Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan.

Varians dan Simpangan Baku Dengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu : Var (X) = 2 = E(X2) ––(E(X))2 Var (X) = 2 = (x – ) 2. P(x)  = Var (X)

Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama. E[h(x,y) =  h(x,y) p(x,y) dimana : h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Y p(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama- sama.

Contoh : Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut : 1 2 3 4 P(x) 0,1 0,2 0,4 q(y) Carilah nilai E (X+Y) Carilah nilai E (X) + E (Y) Carilah nilai E (XY)

Kovarians Kovarians adalah suatu pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabel acak. Kovarians antara 2 variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut :

Persamaan Kovarians Dimana : Xi = nilai variabel acak X ke i Yi = nilai variabel acak Y ke i p(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi i = 1, 2, 3, …., n

TERIMA KASIH TERIMA KASIH SAMPAI JUMPA LAGI MAAF JIKA SALAH & KURANG ATAS PERHATIAN ANDA SAMPAI JUMPA LAGI MAAF JIKA SALAH & KURANG

CUKUP SEKIAN DULU MINGGU DEPAN KITA SAMBUNG LAGI WASSALAMUALAIKUM WR. WB. DAN TERIMA KASIH