Dasar Logika Matematika Dealing with Uncertainty Oleh: Team Dosen Dasar Logika Matematika

Dimulai dengan quiz untuk mengetahui seberapa jauh mahasiswa tentang Proposition & Truth Values

Objectives Significant Digits Understanding Errors Types of Errors Size of Errors Describing Result Accuracy Precision Combining Measured Numbers (Rounding Rules /Aturan Pembulatan) Statement: “

Significant Digits

70 Kg Cyus...  Berapa jumlah uang yang ingin Anda tulis ? 70.0 Kg

Significant digits (angka penting): Angka di dalam sebuah nomor yang merepresentasikan pengukuran sesungguhnya dan karenanya memiliki makna. Apakah 70 Kg == 70.0 Kg ? Sumber: http://economy.okezone.com/read/2014/03/19/20/957589/utang-luar-negeri-ri-capai-rp3-000-triliun-di-awal-tahun Detail hingga per Kg Detail hingga Sepersepuluh Kg

Significant digits 501.040 900.06 0.0004 3,000 Type of Digit Example Angka BUKAN 0. Ya Angka 0 yang mengikuti angka bukan 0 dan terletak di sebelah kanan tanda desimal. 501.040 Angka nol yang berada di antara dua angka bukan 0 atau angka 0 lain yang significant 900.06 Angka 0 yang terletak di sebelah kiri angka (bukan 0) yang pertama Tidak 0.0004 Angka 0 yang terletak di sebelah kanan angka (bukan 0) yang terakhir tapi non desimal. Tidak, (Kecuali disebutkan Demikian) 3,000

Significant digits

Significant digits Latihan Sebutkan jumlah significant digits dari: Jawaban 11.90 detik 0.000 067 km 240,000 jiwa 2.40× 10 5 jiwa 5× 10 −3 1.02 1.020 4  pendekatan hingga 0,01 detik 2  pendekatan hingga 0,000,001 km  67 𝑚𝑚 2  pendekatan hingga 10.000 jiwa 3  pendekatan hingga 1.000 jiwa 1 3 4

Significant digits Latihan Berapa hasil 7.7 mm×9.92 mm dengan 2 significant digit 7.7 𝑚𝑚×9.92 𝑚𝑚=76.384 𝑚𝑚 2 =76 𝑚𝑚 2 Berapa hasil 24,000×72,160 dengan 4 significant digit 24,000×72,160=1,73184× 10 9 =1,732× 10 9 45×32,1 dengan 4 significant digit 45×32.1=1,444.5=1,444 231.89÷0.034 dengan 5 significant digit 231.89÷0.034=6,820.29411=6,820.3 (2.3× 10 5 )×(7.963× 10 −3 ) dengan 6 significant digit 2.3× 10 5 × 7.963× 10 −3 =18.3149× 10 2 =1.83149× 10 3

Quiz 231,89÷0,034; 2 significant digit Hitung jumlah significant digits 90 mph 90.001 mph $2,454 per acre 2.123× 10 12 𝑘𝑔 0.000 203 meter Hitung sampai significant digit 231.89÷0.034; 2 significant digit 231.89÷0.034; 5 significant digit (6.667× 10 3 )×(8.9421× 10 −2 ); 4 significant digit 45×32.1; 5 significant digit Jawab: Hitung jumlah significant digits 90 mph  1 90,001 mph  5 $2454 per acre  4 2,123× 10 12 𝑘𝑔  4 0,000 203 meter  3 Hitung sampai significant digit 231,89÷0,034; 2 significant digit 231,89÷0,034=6.820,29411≈6.800 231,89÷0,034; 5 significant digit 231,89÷0,034=6.820,29411≈6.820,3 (6,667× 10 3 )×(8,9421× 10 −2 ); 4 significant digit (6,667× 10 3 )×(8,9421× 10 −2 )=59,6169807× 10 1 ≈59,62× 10 1 ≈5,962× 10 2 45×32,1; 5 significant digit 45×32,1=1444,5

Understanding Errors

Understanding Errors Types of Errors Sumber: http://cdn.klimg.com/vemale.com/headline/650x325/2013/11/foto-lucu-anak-kucing-duduk-di-timbangan.jpg

Understanding Errors Types of Errors Random Error adalah Error yang terjadi karena kejadian yang acak dan tidak dapat diprediksi ketika proses pengukuran dilakukan. Systematic Error adalah Error yang terjadi pada sistem pengukuran sehingga mempengaruhi semua hasil pengukuran secara seragam

Understanding Errors Size of Errors Absolute Error Menggambarkan sejauh mana nilai sebuah ukuran (yang diklaim) terhadap nilai sebenarnya 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟=𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒−𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒

Understanding Errors Size of Errors Relative Error Membandingkan nilai kesalahan (error) terhadap nilai yang sebenarnya 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟= 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒−𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒

Understanding Errors Latihan Berat Anda adalah 125 pounds (lb), tetapi menurut timbangan adalah 130 pounds (lb). Hitung absolute dan relative error ! 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒−𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =130 𝑙𝑏−125 𝑙𝑏 =5 𝑙𝑏 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 5 𝑙𝑏 125 𝑙𝑏 =0.04=4%

Understanding Errors Latihan Pemerintah mengklaim anggaran sebuah program sebesar $49.0 billion. Sementara menurut audit, nilai anggaran program tersebut adalah $50.0 billion. Hitung absolute dan relative error! 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 =$49.0 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛−$50.0 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛 =−$1.0 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 = $49.0 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛 −$50.0 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛 $50.0 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛 =−0.02=−2% Klaim anggaran lebih rendah $1.0 billion atau 2%

Quiz Cari absolute dan relative error: Tinggi Anda adalah 68.0 inches, menurut perhitungan perawat di klinik adalah 67.5 inches. Jarak sebenarnya ke pulau Paradise adalah 13.34 miles; tetapi odometer mencatat 13.0 miles. Jumlah pemilih pada suatu kota adalah 2,563 jiwa; ternyata dari catatan pemilih tersebut, diketahui ada dua orang yang tercatat ganda. Label yang tercetak pada suatu kemasan makanan tertulis 30 pounds, namun berat sebenarnya adalah 29 pounds. Jawab: Cari absolute dan relative error: Tinggi Anda adalah 68,0 inches, menurut perhitungan perawat di klinik adalah 67,5 inches. Absolute error: 67,5 𝑖𝑛𝑐ℎ−68,0 𝑖𝑛𝑐ℎ=−0,5 𝑖𝑛𝑐ℎ Relative error: −0,5 𝑖𝑛𝑐ℎ ÷68,0 𝑖𝑛𝑐ℎ=−0,00735=−0,74% Jarak sebenarnya ke pulau Paradise adalah 13,34 miles; tetapi odometer mencatat 13,0 miles. Absolute error: 13,0 miles−13,34 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠=−0,34 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 Relative error: −0,34 miles ÷13,34 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠=−0,02548=−2,548% Jumlah pemilih pada suatu kota adalah 2563 jiwa; ternyata dari catatan pemilih tersebut, diketahui ada dua orang yang tercatat ganda. Absolute error: 2 𝑗𝑖𝑤𝑎 Relative error: 2 𝑗𝑖𝑤𝑎÷2561 𝑗𝑖𝑤𝑎=7,809× 10 −4 Label yang tercetak pada suatu kemasan makanan tertulis 30 pounds, namun berat sebenarnya adalah 29 pounds. Absolute error: 30 𝑙𝑏−29 𝑙𝑏=1 𝑙𝑏 Relative error: 1 𝑙𝑏÷29 𝑙𝑏≈0,0345≈3,45%

Describing Result Accuracy & Precision

Accuracy A C B

Describing Result Accuracy Menjelaskan seberapa dekat sebuah pengukuran dengan nilai sebenarnya. Semakin akurat suatu perhitungan, maka absolute error-nya akan semakin kecil

Describing Result Precision

Describing Result Precision Menjelaskan tingkat kedetailan atau ketelitian pada suatu pengukuran. Dari uang pecahan Rp 1,000 atau koin Rp 500, uang pecahan manakah yang dapat menggambarkan jumlah uang dengan lebih detail ? Uang pecahan Rp 500 memiliki presisi yang lebih baik dibandingkan pecahan Rp 1000, karena pecahan Rp 500 teliti hingga per seratusan.

Describing Result Latihan Berat Anda adalah 102.4 lb. Menurut timbangan di rumah sakit, berat Anda adalah 102 1 4 𝑙𝑏; sedangkan menurut timbangan gym berat Anda adalah 100.7 lb. Timbangan manakah yang akurat? Timbangan manakah yang presisi (precision)? Jawaban: Timbangan gym lebih presisi karena detail hingga persepuluh Timbangan rumah sakit lebih akurat karena mendekati nilai sebenarnya dengan selisih 0.15 (0.4-0.25) lb dibandingkan timbangan gym dengan selisih 1,7 lb

Describing Result Accuracy & Precision Siapkan lembar jawaban KUIS Anda ! 10 menit

Quiz Tentukan mana yang akurat dan mana yang presisi! Berat Anda adalah 52,55 kg. Timbangan di klinik menunjukan 53 kg dengan pendekatan per setengah kg; sedangkan timbangan di gym dengan pendekatan 0,01 kg menunjukan 52,88 kg Tinggi Anda adalah 62,50 inches. Tali meteran, dengan pendekatan 1 8 𝑖𝑛𝑐ℎ,menunjukan tinggi Anda adalah 62 5 8 𝑖𝑛𝑐ℎ𝑒𝑠. Alat pengukur laser di ruang dokter, dengan pendekatan 0,05 inch, menunjukan tinggi Anda adalah 62,50 inches Jawaban: Tentukan mana yang akurat dan mana yang presisi Berat Anda adalah 52,55 kg. Timbangan di klinik menunjukan 53 kg dengan pendekatan per setengah kg; sedangkan timbangan di gym dengan pendekatan 0,01 kg menunjukan 52,88 kg Akurat: timbangan di Gym dengan selisih 0,33 kg; sedangkan timbangan klinik selisih 0,45 kg Presisi: timbangan di Gym dengan ketelitian 0,01 kg; sedangkan timbangan klinik ketelitiannya 0,5 kg Tinggi Anda adalah 62,50 inches. Tali meteran, dengan pendekatan 1 8 𝑖𝑛𝑐ℎ,menunjukan tinggi Anda adalah 62 5 8 𝑖𝑛𝑐ℎ𝑒𝑠. Alat pengukur laser di ruang dokter, dengan pendekatan 0,05 inch, menunjukan tinggi Anda adalah 62,50 inches Akurat: Alat pengukur laser di ruang dokter, karena selisihnya adalah 0 (nol) Presisi: alat pengukur laser di ruang dokter dengan ketelitian 1 20 𝑖𝑛𝑐ℎ

Combining Measured Numbers Estimate specifies only a broad range of values, such as “in the ten thousands” or “in the millions”

Combining Measured Numbers Rounding Rules Aturan Pembulatan untuk Penjumlahan atau Pengurangan: Bulatkan jawaban anda dengan ringkat presisi yang sama dengan angka yang paling tidak presisi (least precise number) dari kasus/soal. Aturan Pembulatan untuk Perkalian atau Pembagian: Bulatkan jawaban anda dengan angka significant digit yang sama dengan angka yang jumlah significant digit terkecil (fewest significant digits) dari kasus/soal. Untuk menghindari Error, Pembulatan hanya dilakukan pada saat semua operasi perhitungan selesai, jangan dipertengahan atau awal.

Rounding Rules Latihan Jumlah populasi suatu kota adalah 300.000 jiwa, suatu saat ada satu orang baru pindah ke kota tersebut. Berapakah jumlah populasi kota saat ini? Jumlah populasi awal 300,000 jiwa Memiliki satu significant digit yang berarti jumlah penduduk dihitung dengan pendekatan per 100,000 jiwa Jumlah saat ini 300,001 jiwa Memiliki enam significant digit yang berarti jumlah penduduk dihitung per 1 jiwa Harus disesuaikan dengan presisi awal, yaitu pendekatan per 100,000 jiwa Jumlah populasi saat ini tetap 300,000 jiwa

Rounding Rules Latihan Menurut buku yang tertulis pada tahun 1962, umur runtuhan Maya yang tertua adalah 2000 tahun. Berapakah umur runtuhan tersebut saat ini (2014) ? Umur buku saat ini adalah 2014 – 1962 = 52 tahun Umur runtuhan Maya saat ini adalah 2000+52=2052 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛≈2000 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛

Rounding Rules Latihan Kota, dengan jumlah populasi 82,000 jiwa, telah menganggarkan pengeluaran sebesar $41.5 million. Asumsi pengeluaran tersebut didapat dari pajak, berapakah jumlah pajak yang dibebankan ke setiap penduduk? $4,1500,000 82,000 𝑗𝑖𝑤𝑎 =$506.09756 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑖𝑤𝑎≈$506 𝑝𝑒𝑟 𝑗𝑖𝑤𝑎 Antara 82,000 dan $41.5 million, nilai 82,000 memiliki jumlah significant digit paling kecil. Maka hasil akhir harus dibulatkan dengan jumlah significant digit yang sama

Combining Measured Numbers Rounding Rules Siapkan lembar jawaban KUIS Anda ! 10 menit

Quiz Gunakan rounding rules, tampilkan hasil perhitungan dengan presisi yang benar atau jumlah significant digit yang benar Kurangi 0,1 pound dari 12 pound untuk mengetahui berat kucing sebelum makan 43 miles hour ×0,25 hour 102 miles÷0,65 ℎ𝑜𝑢𝑟 Menurut petunjuk arah, jarak ke balai kota adalah 36 miles; sedangkan tempat tujuan Anda berada 2,2 miles lebih jauh dari balai kota. Berapa jarak yang harus Anda tempuh ? Kota dengan penduduk 60.000 jiwa, setiap warganya membayar pajak sebesar $445,79. Berapa total pendapatan dari pajak ? Jawaban: Gunakan rounding rules, tampilkan hasil perhitungan dengan presisi yang benar atau jumlah significant digit yang benar Kurangi 0,1 pound dari 12 pound untuk mengetahui berat kucing sebelum makan 12 𝑙𝑏−0,1 𝑙𝑏=11,9 𝑙𝑏≈12 𝑙𝑏 43 miles hour ×0,25 hour=10,75 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠≈11 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 102 miles÷0,65 ℎ𝑜𝑢𝑟=156,923 𝑚𝑝ℎ≈160 𝑚𝑝ℎ Menurut petunjuk arah, jarak ke balai kota adalah 36 miles; sedangkan tempat tujuan Anda berada 2,2 miles lebih jauh dari balai kota. Berapa jarak yang harus Anda tempuh ? 36 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠+2,2 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠=38,2 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠≈38 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 Kota dengan penduduk 60.000 jiwa, setiap warganya membayar pajak sebesar $445,79. Berapa total pendapatan dari pajak ? $445,79×60.000=$26.747.400≈$30.000.000

Terima Kasih

Jawaban Kuis

Hitung jumlah significant digits 90 mph  1 90,001 mph  5 $2454 per acre  4 2,123× 10 12 𝑘𝑔  4 0,000 203 meter  3

Hitung sampai significant digit 231,89÷0,034; 2 significant digit 231,89÷0,034=6.820,29411≈6.800 231,89÷0,034; 5 significant digit 231,89÷0,034=6.820,29411≈6.820,3 (6,667× 10 3 )×(8,9421× 10 −2 ); 4 significant digit (6,667× 10 3 )×(8,9421× 10 −2 )=59,6169807× 10 1 ≈59,62× 10 1 ≈5,962× 10 2 45×32,1; 5 significant digit 45×32,1=1444,5

Cari absolute dan relative error: Tinggi Anda adalah 68,0 inches, menurut perhitungan perawat di klinik adalah 67,5 inches. Absolute error: 67,5 𝑖𝑛𝑐ℎ−68,0 𝑖𝑛𝑐ℎ=−0,5 𝑖𝑛𝑐ℎ Relative error: −0,5 𝑖𝑛𝑐ℎ ÷68,0 𝑖𝑛𝑐ℎ=−0,00735=−0,74% Jarak sebenarnya ke pulau Paradise adalah 13,34 miles; tetapi odometer mencatat 13,0 miles. Absolute error: 13,0 miles−13,34 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠=−0,34 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 Relative error: −0,34 miles ÷13,34 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠=−0,02548= −2,548% Jumlah pemilih pada suatu kota adalah 2563 jiwa; ternyata dari catatan pemilih tersebut, diketahui ada dua orang yang tercatat ganda. Absolute error: 2 𝑗𝑖𝑤𝑎 Relative error: 2 𝑗𝑖𝑤𝑎÷2561 𝑗𝑖𝑤𝑎=7,809× 10 −4 Label yang tercetak pada suatu kemasan makanan tertulis 30 pounds, namun berat sebenarnya adalah 29 pounds. Absolute error: 30 𝑙𝑏−29 𝑙𝑏=1 𝑙𝑏 Relative error: 1 𝑙𝑏÷29 𝑙𝑏≈0,0345≈3,45%

Tentukan mana yang akurat dan mana yang presisi Berat Anda adalah 52,55 kg. Timbangan di klinik menunjukan 53 kg dengan pendekatan per setengah kg; sedangkan timbangan di gym dengan pendekatan 0,01 kg menunjukan 52,88 kg Akurat: timbangan di Gym dengan selisih 0,33 kg; sedangkan timbangan klinik selisih 0,45 kg Presisi: timbangan di Gym dengan ketelitian 0,01 kg; sedangkan timbangan klinik ketelitiannya 0,5 kg Tinggi Anda adalah 62,50 inches. Tali meteran, dengan pendekatan 1 8 𝑖𝑛𝑐ℎ,menunjukan tinggi Anda adalah 62 5 8 𝑖𝑛𝑐ℎ𝑒𝑠. Alat pengukur laser di ruang dokter, dengan pendekatan 0,05 inch, menunjukan tinggi Anda adalah 62,50 inches Akurat: Alat pengukur laser di ruang dokter, karena selisihnya adalah 0 (nol) Presisi: alat pengukur laser di ruang dokter dengan ketelitian 1 20 𝑖𝑛𝑐ℎ

43 miles hour ×0,25 hour=10,75 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠≈11 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 Gunakan rounding rules, tampilkan hasil perhitungan dengan presisi yang benar atau jumlah significant digit yang benar Kurangi 0,1 pound dari 12 pound untuk mengetahui berat kucing sebelum makan 12 𝑙𝑏−0,1 𝑙𝑏=11,9 𝑙𝑏≈12 𝑙𝑏 43 miles hour ×0,25 hour=10,75 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠≈11 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 102 miles÷0,65 ℎ𝑜𝑢𝑟=156,923 𝑚𝑝ℎ≈160 𝑚𝑝ℎ Menurut petunjuk arah, jarak ke balai kota adalah 36 miles; sedangkan tempat tujuan Anda berada 2,2 miles lebih jauh dari balai kota. Berapa jarak yang harus Anda tempuh ? 36 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠+2,2 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠=38,2 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠≈38 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 Kota dengan penduduk 60.000 jiwa, setiap warganya membayar pajak sebesar $445,79. Berapa total pendapatan dari pajak ? $445,79×60.000=$26.747.400≈$30.000.000