Isnaini Rosyida, Emi Pudjiastuti, Mulyono UNNES-2018 Relasi rekursif Isnaini Rosyida, Emi Pudjiastuti, Mulyono UNNES-2018

Relasi Rekursif Definisi 1. Relasi Rekursif untuk barisan { 𝑎 𝑛 } didefinisikan sebagai sebuah persamaan yang menyatakan 𝑎 𝑛 dalam salah satu atau lebih suku-suku sebelumnya, yaitu 𝑎 0 , 𝑎 1 ,…, 𝑎 𝑛−1 , untuk semua 𝑛 dengan 𝑛≥ 𝑛 0 dengan 𝑛 0 bilangan bulat tak negatif. Selanjutnya, barisan { 𝑎 𝑛 } dikatakan sebagai solusi dari relasi rekursif ini bila 𝑎 𝑛 memenuhi relasi rekursif. Contoh 11. Misal barisan { 𝑎 𝑛 } memenuhi relasi rekursif 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2 untuk 𝑛=2,3,4,… Serta diberikan nilai awal: 𝑎 0 =3 dan 𝑎 1 =5. Diperoleh: 𝑎 2 = 𝑎 1 − 𝑎 0 =5−3=2 𝑎 3 = 𝑎 2 − 𝑎 1 =2−5=−3 𝑎 4 = 𝑎 3 − 𝑎 2 =−3−2=−5 𝑎 5 = 𝑎 4 − 𝑎 3 =−5+3=−2 Dan seterusnya. Jelas bahwa 𝑎 𝑛 mengaitkan dua suku sebelumnya.

Relasi Rekursif Apakah barisan { 𝑎 𝑛 } dengan 𝑎 𝑛 =3𝑛 merupakan solusi dari relasi rekursif 𝑎 𝑛 =2 𝑎 𝑛−1 − 𝑎 𝑛−2 untuk 𝑛=2,3,4,… dengan n bilangan bulat tak negatif? Penyelesaian: Dengan mensubtitusi 𝑎 𝑛 =3𝑛 ke ruas kanan relasi rekursif, diperoleh: 2.3. 𝑛−1 −3 n−2 =6n−6−3n+6=3n= 𝑎 𝑛 Dapat dibuktikan bahwa 𝑎 𝑛 =3𝑛 memenuhi relasi rekursif. Jadi 𝑎 𝑛 =3𝑛 merupakan solusi dari relasi rekursif. Bagaimana dengan barisan { 𝑎 𝑛 } dengan 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 ? Apakah barisan ini merupakan solusi dari relasi rekursif Penyelesaian: Dengan mensubtitusi 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 ke ruas kanan relasi rekursif, diperoleh: 2. 2 𝑛−1 − 2 𝑛−2 = 2 𝑛 −0.25( 2 𝑛 )=0.75( 2 𝑛 )≠ 𝑎 𝑛 Dapat dibuktikan bahwa 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 tidak memenuhi relasi rekursif. adi 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 bukan solusi dari relasi rekursif.

Relasi Rekursif Contoh 2. Barisan Fibonacci: Sepasang kelinci diletakkan di sebuah pulau. Pasangan kelinci ini tidak akan beranak sampai berumur 2 bulan, Setelah 2 bulan, setiap pasang kelinci akan menghasilkan sepasang kelinci lainnya setiap bulan. Misal 𝑓 𝑛 menyatakan banyaknya pasangan kelinci setelah 𝑛 bulan, relasi rekursif untuk barisan { 𝑓 𝑛 } adalah 𝑓 𝑛 = 𝑓 𝑛−1 + 𝑓 𝑛−2

𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 +…+ 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 (3) Relasi Rekursif Definisi 5. Bentuk umum relasi rekursif linear homogen berderajat 𝑘 dengan koefisien-koefisien konstan sebagai berikut: 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 +…+ 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 (3) dengan 𝑐 1 , 𝑐 2 ,…, 𝑐 𝑘 bilangan-bilangan real dan 𝑐 𝑘 ≠0. Untuk lebih memahami bentuk relasi rekursif linear homogen berderajat 𝑘 dengan koefisien konstan, diperhatikan contoh berikut ini. 1. 𝑃 n =(1.11) 𝑃 𝑛−1 , merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 1 𝑓 𝑛 =4 𝑓 𝑛−2 , merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 2 𝐻 𝑛 =2 𝐻 𝑛−1 − 𝐻 𝑛−2 + 𝐻 𝑛−3 , merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 3 4. 𝐻 𝑛 =2 𝐻 𝑛−1 − 𝐻 𝑛−2 + 𝐻 𝑛−3 + 𝐻 𝑛−4 , merupakan relasi rekursif linear homogen berderajat 4.

Relasi Rekursif Langkah untuk menentukan solusi relasi rekursif homogen linear adalah dengan mensubtitusi bentuk 𝑎 𝑛 = 𝑟 𝑛 dengan 𝑟 konstanta. Bentuk 𝑎 𝑛 = 𝑟 𝑛 solusi dari relasi rekursif (3) jika dan hanya jika 𝑎 𝑛 memenuhi relasi rekursif (3). Dengan cara mensubtitusi 𝑎 𝑛 = 𝑟 𝑛 ke relasi rekursif (3), diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut: 𝑟 𝑘 − 𝑐 1 𝑟 𝑘−1 + 𝑐 2 𝑟 𝑘−2 +…+ 𝑐 𝑘−1 𝑟− 𝑐 𝑘 =0, dan akar dari persamaan tersebut di atas disebut akar-akar karakteristik.

Relasi Rekursif Beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menentukan bentuk solusi homogen relasi rekursif linear homogen berderajat 𝑘 disajikan berikut ini. Teorema 1. Misal 𝑐 1 , 𝑐 2 bilangan real dan persamaan 𝑟 2 − 𝑐 1 𝑟− 𝑐 2 =0 mempunyai dua akar berbeda 𝑟 1 dan 𝑟 2 . Barisan { 𝑎 𝑛 } solusi dari relasi rekursif 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 jika dan hanya jika 𝑎 𝑛 = 𝛼 1 𝑟 1 𝑛 + 𝛼 2 𝑟 2 𝑛 ,𝑛=0,1,2,… dengan 𝛼 1 dan 𝛼 2 konstanta.

𝑎 𝑛 = 𝛼 0 𝑟 0 𝑛 + 𝛼 1 𝑛 𝑟 1 𝑛 ,𝑛=0,1,2,… dengan 𝛼 1 dan 𝛼 2 konstanta. Relasi Rekursif Jika akar karakteristik dari relasi rekursif (3) berderajat 2 merupakan akar rangkap 2, dapat digunakan Teorema 2 untuk menentukan bentuk solusinya. Teorema 2. Misal 𝑐 1 , 𝑐 2 bilangan real dan persamaan 𝑟 2 − 𝑐 1 𝑟− 𝑐 2 =0 mempunyai satu akar (rangkap) 𝑟 0 . Barisan { 𝑎 𝑛 } solusi dari relasi rekursif 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 jika dan hanya jika 𝑎 𝑛 = 𝛼 0 𝑟 0 𝑛 + 𝛼 1 𝑛 𝑟 1 𝑛 ,𝑛=0,1,2,… dengan 𝛼 1 dan 𝛼 2 konstanta.

Relasi Rekursif Bentuk solusi homogen dari relasi rekursif (3) berderajat-k dengan semua akar karakteristik berbeda, dapat ditentukan berdasarkan Teorema 3. Teorema 3. Misal 𝑐 1 , 𝑐 2 ,…, 𝑐 𝑘 bilangan real dan persamaan 𝑟 𝑘 − 𝑐 1 𝑟 𝑘−1 − 𝑐 2 𝑟 𝑘−2 −…− 𝑐 𝑘−1 𝑟− 𝑐 𝑘 =0 mempunyai 𝑘 akar berbeda 𝑟 1 , 𝑟 2 ,…, 𝑟 𝑘 . Barisan { 𝑎 𝑛 } solusi dari relasi rekursif 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 +…+ 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 jika dan hanya jika 𝑎 𝑛 = 𝛼 1 𝑟 1 𝑛 + 𝛼 2 𝑟 2 𝑛 ,…+ 𝛼 𝑘 𝑟 𝑘 𝑛 ,𝑛=0,1,2,… dengan 𝛼 1 , 𝛼 2 ,…, 𝛼 𝑘 konstanta.

Relasi Rekursif Bentuk solusi homogen dari relasi rekursif (3) berderajat-k dengan akar karakteristik rangkap, dapat ditentukan berdasarkan Teorema 4. Teorema 4. Misal 𝑐 1 , 𝑐 2 ,…, 𝑐 𝑘 bilangan real dan persamaan 𝑟 𝑘 − 𝑐 1 𝑟 𝑘−1 − 𝑐 2 𝑟 𝑘−2 −…− 𝑐 𝑘−1 𝑟− 𝑐 𝑘 =0 mempunyai mempunyai 𝑡 akar 𝑟 1 , 𝑟 2 ,…, 𝑟 𝑡 berbeda dengan multiplisitas 𝑚 1 , 𝑚 2 ,…, 𝑚 𝑡 dengan 𝑚 1 + 𝑚 2 +…+ 𝑚 𝑡 =𝑘. Barisan { 𝑎 𝑛 } solusi dari relasi rekursif 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 𝑛−1 + 𝑐 2 𝑎 𝑛−2 +…+ 𝑐 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 jika dan hanya jika 𝑎 𝑛 =( 𝛼 1,0 + 𝛼 1,1 𝑛+…+ 𝛼 1, 𝑚 1 −1 𝑛 𝑚 1 −1 ) 𝑟 1 𝑛 +( 𝛼 2,0 + 𝛼 2,1 𝑛+…+ 𝛼 2, 𝑚 2 −1 𝑛 𝑚 2 −1 ) 𝑟 2 𝑛 +…+( 𝛼 𝑡,0 + 𝛼 𝑡,1 𝑛+…+ 𝛼 𝑡, 𝑚 𝑡 −1 𝑛 𝑚 𝑡 −1 ) 𝑟 𝑡 𝑛 dengan 𝑛=0,1,2,… dan 𝛼 𝑖,𝑗 konstanta untuk 1≤𝑖≤𝑡 dan 0≤𝑗≤ 𝑚 𝑖 −1.

Relasi Rekursif Contoh 3 Tentukan solusi dari relasi rekursif 𝑎 𝑛 =6 𝑎 𝑛−1 −11 𝑎 𝑛−2 + 𝑎 𝑛−3 dengan kondisi awal 𝑎 0 =2, 𝑎 1 =5, 𝑎 2 =15. Penyelesaian. Langkah pertama, ditentukan persamaan karakteristik dengan mensubtitusi 𝑎 𝑛 = 𝑟 𝑛 dengan 𝑟 konstanta:  𝑟 3 −6 𝑟 2 +11𝑟−6=0. Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: 𝑟=1,𝑟=2 dan 𝑟=3. Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut: 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 . 1 𝑛 + 𝑐 2 . 2 𝑛 + 𝑐 3 . 3 𝑛 . Dengan kondisi awal yang diberikan, diperoleh 𝑎 0 = 𝑐 1 + 𝑐 2 .1+ 𝑐 3 .1=2 𝑎 1 = 𝑐 1 + 𝑐 2 .2+ 𝑐 3 .3=5 𝑎 2 = 𝑐 1 + 𝑐 2 .4+ 𝑐 3 .9=15 Dari tiga persamaan di atas, diperoleh solusi homogen: 𝑎 𝑛 =1− 2 𝑛 +2. 3 𝑛 .

𝑎 𝑛 = 𝑐 1 .(−1 ) 𝑛 + 𝑐 2 .𝑛.(−1 ) 𝑛 + 𝑐 3 . 𝑛 2 .(−1 ) 𝑛 . Relasi Rekursif Contoh 4 Tentukan solusi dari relasi rekursif 𝑎 𝑛 =−3 𝑎 𝑛−1 −3 𝑎 𝑛−2 − 𝑎 𝑛−3 dengan kondisi awal 𝑎 0 =1, 𝑎 1 =−2, 𝑎 2 =−1. Penyelesaian. Langkah pertama, ditentukan persamaan karakteristik dengan mensubtitusi 𝑎 𝑛 = 𝑟 𝑛 dengan 𝑟 konstanta: r 3 +3 𝑟 2 +3𝑟+1=0. Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik: 𝑟=−1 dgn multiplisitas 3. Dengan demikian, bentuk solusinya sebagai berikut: 𝑎 𝑛 = 𝑐 1 .(−1 ) 𝑛 + 𝑐 2 .𝑛.(−1 ) 𝑛 + 𝑐 3 . 𝑛 2 .(−1 ) 𝑛 . Dengan kondisi awal yang diberikan, diperoleh 𝑎 0 = 𝑐 1 .1+0+0=1, Diperoleh: 𝑐 1 =1 𝑎 1 = 𝑐 1 .(−1 ) 1 + 𝑐 2 .1.(−1 ) 1 + 𝑐 3 . 1 2 .(−1 ) 1 =−2 𝑎 1 = 𝑐 1 .(−1 ) 2 + 𝑐 2 .1.(−1 ) 2 + 𝑐 3 . 1 2 .(−1 ) 2 =−1 Dengan subtitusi nilai 𝑐 1 kedua persamaan terakhir, diperoleh solusi homogen 𝑎 𝑛 =(1+3𝑛−2 𝑛 2 )(−1 ) 𝑛 .

soal Kerjakan dengan tuntas soal-soal berikut ini. 1. Tentukan solusi relasi rekursif: 𝑎 𝑛 =2 𝑎 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 −2 𝑎 𝑛−3 dengan 𝑎 0 =9, 𝑎 1 =10, 𝑎 2 =32. 2. Tentukan solusi relasi rekursif: 𝑓 𝑛 = 𝑓 𝑛−1 + 𝑓 𝑛−2 dengan 𝑓 0 =0 dan 𝑓 1 =1.