Deret Fourier dan Transformasi Fourier Fungsi Periodik Koefisien Fourier Deret Fourier Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Perluasan Fungsi Deret Fourier Kompleks Integral Fourier Transformasi Fourier Sifat Transformasi Fourier Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Fungsi Periodik # 1 Fungsi f(t) : fungsi periodik bila ada bilangan p  R+, sehingga berlaku f(t+p) = f(t) untuk setiap t  Df. p terkecil disebut periode dari f Jumlah fungsi periodik merupakan fungsi periodik. Misal f1(t), f2(t), f3(t),…., fn(t) : fungsi periodik dengan periode p1, p2,…, pn, maka f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) +….+ fn(t) fungsi periodik dengan periode p = Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK ) dari p1, p2, …, pn. Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Fungsi Periodik # 2 Fungsi y = cos (nx)  p = 2/n Fungsi y = tan (x)  p =  Fungsi y = tan (nx)  p = /n Fungsi y = tan (3x) + sin(5x)  p = Fungsi y = sin x  p = 2 Fungsi y = sin 2x  p =  Fungsi y = sin (nx)  p = 2/n Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Fungsi Periodik # 3 Fungsi f(t) dipandang periodik dengan periode p = 4.Gambarkan f(t) pada interval [ -6,6] 2 -2 -6 -4 4 6 Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Soal Latihan Apakah fungsi berikut periodik ? Bila ya, tentukan periodenya. f(t) = cos 6 t f(t) = 5 sin ( 2t +  ) - 2 f(t) = sin 2 t + cos t f(t) = tan 4t + 2 cos (t + /3 )- 3cot ( ½t - ) f(t) = sin 2 t + cos 4 t Gambarkan grafik dari fungsi berikut yang dipandang periodik dengan periode diketahui Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Fungsi Kontinu Bagian demi Bagian Fungsi f(t) disebut fungsi kontinu bagian demi bagian pada interval [a,b] bila dipenuhi : Interval [ a,b ] dapat dibagi menjadi sebanyak hingga sub interval sehingga f(t) kontinu pada sub interval tersebut. Limit dari f(t) pada setiap ujung dari sub interval adalah berhingga. a b c Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Koefisien Fourier # 1 Fungsi f(t) didefinisikan pada (0 ,2 L), periodik dengan periode 2L, kontinu bagian demi bagian, Deret Fourier dari f(t) didefinisikan : Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Koefisien Fourier # 2 f( t + 2) = f(t)  f(t) periodik dengan p = 2 = ½ n an bn 1 1/ 2 3 -1/3 1/3 4 5 1/5 Deret Fourier dari f(t) = ? Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Koefisien Fourier # 3 f( t + 2) = f(t) Deret Fourier dari f(t) dituliskan berikut : dengan L =  a0 = ½ Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Koefisien Fourier # 4 Fungsi f(t) didefinisikan pada (-L , L), periodik dengan periode 2L, kontinu bagian demi bagian, Deret Fourier dari f(t) didefinisikan : Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Koefisien Fourier # 5 f( t + 2) = f(t)  f(t) periodik dengan p = 2 Integral Parsial : u = t + 1  du = dt dan dv = cos nt dt  v = 1/n sin nt = 2 u = t + 1  du = dt dan dv = sin nt dt  v = -1/n cos nt n bn 1 2 3 4 5 Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Soal Latihan Fungsi berikut dipandang periodik dengan periode 2. Gambar grafik dan perderetkan dalam deret Fourier Tentukan deret Fourier dari fungsi periodik dengan periode p = 2L, sket grafik f(t) dan jumlah parsial deret untuk n = 3, bila : f(t) = 2t, 0 < t < 2 , L =  f(t) = cos t ( 0 < t < 1 ) ; L = ½ Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 1 Fungsi f(t) disebut fungsi genap bila berlaku f(-t) = f(t) untuk setiap t  Df dan Fungsi f(t) disebut fungsi ganjil bila berlaku f(-t) = -f(t) untuk setiap t  Df. Sifat : Grafik fungsi genap, y = f(t) simetris terhadap sumbu Y Grafik fungsi ganjil, y = f(t) simetris terhadap titik pusat salib sumbu. Hasilkali dua fungsi genap  fungsi genap Hasilkali dua fungsi ganjil  fungsi genap Hasilkali fungsi genap dan fungsi ganjil  fungsi ganjil. Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 2 Y a -a f(t) fungsi genap  f(t) fungsi ganjil  sin t  fungsi ganjil dan cos t  fungsi genap Y a -a f(t) f(t) sin t f(t) cos t Genap Ganjil Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 3 f(t) fungsi genap terdefinisi pada ( -L,L ) kontinu bagian demi bagian dan periodik dengan periode p = 2L DF Cosinus Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 3 f(t) fungsi ganjil terdefinisi pada ( -L,L ) kontinu bagian demi bagian dan periodik dengan periode p = 2L DF Sinus Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 4 f(t + 6) = f(t) -3 3 2 -2 Ganjil Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

DF Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil # 5 f(t + 2  ) = f(t) Genap 2  =  -2 -  Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Soal Latihan Selidiki apakah fungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya f(t) = t( 1 - t ) , 0 < t < 1 , p = 1. Diketahui f(t) periodik dengan periode 2 ditentukan oleh f(t) = t ( t + 1 ) untuk -1 < t < 1. Tentukan deret Fourier f(t). Fungsi f(t) berikut dipandang periodik dengan periode 2. Tentukan Deret Fourier. Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Perluasan Fungsi # 1 Misal fungsi f(t) terdefinisi pada 0  t  L L f(t) : fungsi Genap terdefinisi pada (-L,L) -L bn = 0 Disebut DF Cosinus dari f(t) Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Perluasan Fungsi # 2 Misal fungsi f(t) terdefinisi pada 0  t  L L f(t) : fungsi Ganjil terdefinisi pada (-L,L) -L a0 = 0 dan an = 0 Disebut DF Sinus dari f(t) Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Contoh 1a Tentukan DF Cosinus dari fungsi f(t) = t ; 0 < t < 2 yang dipandang periodik dengan periode p = 4 u = t  du = dt dan dv = cos ( n t/2) dt  v = (2/n ) sin (n t/2) = 2 Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Contoh 1b Nyatakan f(t) = t , ( 0 < t < 1 ) sebagai deret Fourier sinus dan gambar grafik perluasan periodik dari f(t) pada -5 < t < 5 bila f(t) dipandang periodik dengan periode p = 2 Nilai a0 = an = 0 u = t  du = dt dan dv = sin (n t) dt  v = - 1/n cos (n t) Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Contoh 1b n 1 2 3 4 5 Cos n -1 Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Contoh 1b Grafik perluasan dari f(t) = t , ( 0 < t < 1 ) dengan periode p = 2 pada -5 < t < 5  Fungsi Ganjil p = 2 1 t - 5 5 p = 2 Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Soal Latihan Fungsi f(t) periodik dengan periode 2 ditentukan oleh f(t) =  - t , 0 < t < . Tentukan deret Fourier sinus. Gambar grafik perluasannya pada selang – 3  < t < 3  Fungsi f(t) periodik dengan periode 2 ditentukan oleh f(t) = 2 untuk 0 < t < ½ dan f(t) = 0 untuk ½ < t < 1. Tentukan deret Fourier Cosinus. Gambarkan grafik perluasannya pada selang – 3 < t < 3 Fungsi f(t) periodik dengan periode 2 ditentukan oleh f(t) = ( t - 1 )2, 0 < t < 1. Tentukan deret Fourier Cosinus. Gambarkan grafik perluasannya pada selang – 4 < t < 4 Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) DF Kompleks Misal fungsi f(t) terdefinisi pada (0,T) Periodik dengan periode p = T Kontinu bagian demi bagian DF dari fungsi f(t) dinyatakan : Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Contoh DF Kompleks Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Contoh DF Kompleks Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Integral Fourier # 1 Misal f(t) terdefinisi pada (- ½ T, ½ T) Periodik dengan periode p = T Kontinu bagian demi bagian Koefisien Fourier Kompleks dari f(t) dinyatakan: Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Integral Fourier # 2  Bila T   ( x  0) dan xn  x, maka : Disebut Integral Fourier Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Transformasi Fourier # 1 F(x)   Tranformasi Fourier dari f(t)  Invers Tranformasi Fourier dari F(s) f(t) F(s)  Pasangan Transformasi Fourier Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Transformasi Fourier # 2  F(s) = …. ? Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Soal Latihan 1. Tentukan koefisien Fourier kompleks dan real dari 2. Tentukan Transformasi Fourier dari Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Sifat Transformasi Fourier Cara mendapatkan TF dari sebuah fungsi : Menggunakan definisi Menggunakan Tabel Menggunakan Sifat TF : Sifat Shifting dan Stretching Sifat Konvolusi Turunan Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Sifat Shifting dan Stretching # 1 F(s) Shifting / Pergeseran Stretching / Similaritas Shifting dan Stretching Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Sifat Shifting dan Stretching # 2    Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Konvolusi # 1 Konvolusi dari dua fungsi g(t) dan fungsi f(t) didefinisikan,  t = 0  0 < t < 1  –1 < t < 0  t lainnya  Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Konvolusi # 2  Perhitungan rinci dapat dilihat di : Ronald N Bracewell, The Fourier Transform and its Applications, 3rd, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 2000. Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Konvolusi # 2 Misal diberikan pasangan transformasi, f (t)  F(s), g (t)  G (s) dan h (t) = (g * f) (t) maka Sifat aljabar dari konvolusi fungsi dan konvolusi transformasi : f * g = g * f (f * g ) * h = f * (g * h ) f * ( g + h ) = ( f * g ) + ( f * h ) ( f g ) * ( h k )  ( F * G ) ( H * K ) ( f + g ) ( h + k )  ( F + G ) * ( H + K ) f ( g * h )  F * ( G H ) Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Konvolusi # 3   Turunan : Misal diberikan pasangan transformasi Fourier, f(t)  F(s), maka transformasi dari turunan fungsi, f ‘ (t) adalah f ‘(t)  i s F(s) dan f (n)(t)  ( i s)n F(s) Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Fungsi Delta Diract Fungsi delta diract atau fungsi impulse satuan, dinyatakan : dan Pasangan Transformasi : Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Step Function  a = 0   f(t) = 1  Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Soal Latihan Carilah transformasi Fourier dari Carilah TF dari Misalkan a. Tunjukkan bahwa b. Selanjutnya kerjakanlah soal no 2 dengan menggunakan konvolusi. Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)

Variabel Kompleks (MA 1223) Soal Latihan Lihat soal Latihan 6.6 Danang Mursita, Matematika Lanjut Untuk Perguruan Tinggi, Rekayasa Sains, Bandung, 2005 Minggu, 30 Juni 2019 Variabel Kompleks (MA 1223)