Deret Taylor Deret Mac Laurin Deret Laurent Deret Kompleks Deret Taylor Deret Mac Laurin Deret Laurent Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Deret Taylor Misal fungsi f(z) analitik pada |z - z0| <R0 maka f(z) dapat diperderetkan menjadi : Bila f(z) fungsi entire (fungsi analitik dimana-mana ) maka daerah keanalitikan / kekonvergenan deret yaitu : | z - z0 | <  z0 R0 Dinamakan Deret / Polinomial Taylor di z = z0 Dinamakan Daerah Kekonvergenan / Keanalitikan Deret Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Deret Mac Laurin # 1 Bila z0 = 0, maka deret disebut Deret Mac Laurin dan dapat dituliskan : Nyatakan f(z) = ez dalam deret Mac Laurin Fungsi f(z) = ez merupakan fungsi entire sehingga daerah keanalitikan : | z | <  dan turunan fungsi sampai tingkat ke-n dan nilai turunan di z = 0 diberikan Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Deret Mac Laurin # 2 Untuk melakukan perderetan fungsi eksponen yang lain dapat dilakukan tanpa harus melakukan penurunan fungsi, tapi dengan menggunakan hasil diatas. Perderetkan dalam deret Mac Laurin, f(z) = e3z f(z) = e3z : fungsi entire, sehingga daerah keanalitikan: | z | <  | z |<   | 3 z | <  )1). f(z) = e3z ... | 3 z | <  )2). f(z) = eaz ... | a z | <  Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Deret Mac Laurin # 3 Perderetkan f(z) = sinh z ke dalam deret Mac Laurin n 1 2 3 4 5 ( ) n 1 - Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Deret Mac Laurin # 4 Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin Re Im  1 | z | < 1  tidak analitik di z = 1 Daerah Keanalitikan f(0) = 1  f ‘ (0) = 1  f “ (0) = 2  f ‘” (0) = 6 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Deret Mac Laurin # 5 Untuk perderetan fungsi rasional yang lain diselesaikan dengan menggunakan hasil diatas Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin, Re Im  -1 |z| < 1  tidak analitik di z = -1 Daerah Keanalitikan | z | < 1  | - z | < 1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Perderetkan ke dalam Deret Mac Laurin,  tidak analitik di z = 1 dan z = -1 Daerah Keanalitikan | z | < 1 Re Im  -1 1 | z2 | < 1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Perderetkan ke dalam deret Mac Laurin,  tidak analitik di z = 2 Daerah Keanalitikan, | z | < 2 Re Im  2 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mac Laurin : f(z) = z e2z f(z) = cosh z f(z) = cos z f(z) = z sin z f(z) = 1 / (z2 + 1) f(z) = z / ( i – z ) f(z) = 1 / ( 3 + z ) Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Perderetan Taylor Untuk memperderetkan fungsi di z = z0 dilakukan dengan metode Mac Laurin yaitu membandingkan bentuk fungsi ( z- z0) dengan daerah keanalitikan deret Perderetkan ke dalam Deret Taylor di z = 1,  tidak analitik di z = 0 Daerah Keanalitikan Re Im  1 | z-1 | < 1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = i.  tidak analitik di z = -1 Daerah Keanalitikan Re Im  -1 i Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh Perderetkan ke dalam deret Taylor di z = 1,  tidak analitik di z = -i Daerah Keanalitikan Re Im  1 -i Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut di titik yang diberikan f(z) = ez di z = i f(z) = sinh z di z = i f(z) = 1/z di z = 2 (kuis 7/8/15) f(z) = 1/z di z = i f(z) = 1/(2-z) di z = i f(z) = 1/(z + i) di z = -2 f(z) = 1/(z –i) di z = -1 Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Deret Laurent Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan dalam deret Taylor di z = z0 atau pada daerah | z – z0 | < R z0 R Bila z0 dibuang dari | z – z0 | < R maka 0 < | z – z0 | < R merupakan daerah keanalitikan dari f(z) Misal f(z) tidak analitik di z = z0 tetapi analitik pada R1 < | z – z0 | < R2 ,maka f(z) dapat diperderetkan di z = z0 menjadi Deret Laurent, z0 R2 R1 C Lintasan C merupakan lintasan tutup sederhana, arah positif yang terletak di dalam anulus yang melingkupi z0. Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh # 1 Perderetkan f(z) dengan pusat di z = 0,  tidak analitik di z = 0  daerah keanalitikan : 0 < | z | <   Diperderetkan pada daerah | z | < 4 Perderetkan f(z) pada daerah 1< | z | < 4 Re Im -1 4  Diperderetkan pada daerah 1 < | z | Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh # 2 (1). 1 < | z |  (2). | z | < 4  Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh # 3 Perderetkan f(z) di z = 1 dan tentukan daerah keanalitikannya  Tidak analitik di z = 1 dan z = 2 1 Re Im 2 0<|z-1|<1 Kemungkinan daerah keanalitikan dari f(z) : (1). 0< | z – 1 | < 1 (2). 1< | z – 1 | 1<|z-1| Perderetan fungsi akan dilakukan terhadap suku kedua yaitu diperderetkan pada daerah (1) dan daerah (2) Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh # 4 (1). 0 < | z - 1 | < 1  0 < | z - 1 | dan | z - 1 | < 1 (2). 1 < | z -1 |  Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Contoh # 5 Perderetkan f(z) pada daerah | z – i | > 2 Suku kedua diperderetkan pada 2 < | z – i |   i Re Im 3i Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)

Variabel Kompleks (MA 2113) Soal Latihan Perderetkan fungsi berikut pada daerah yang diberikan Perderetkan fungsi berikut pada daerah R0 < |z – z0| < R1 bila diberikan : Senin, 29 Juli 2019 Variabel Kompleks (MA 2113)