DENI HAMDANI, S.Pd., M.Pd

ATURAN Masuk Mahasiswa : minimal... Dosen : minimal 15 Seragam harus jelas dan rapi Memakai sepatu, tidak memakai slop Kehadiran minimal 13 kali dari 16 kali pertemuan

Materi Kuliah..\RPS Kalkulus versi deni hamdani.docx

SISTEM BILANGAN REAL Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang termasuk dalam bilangan real, yakni: bilangan rasional dan irasional

Bilangan Rasional Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk m/n, dengan m,n elemen bilangan bulat dan n ≠0. Karena m/n, maka bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal, baik itu desimal yg memiliki akhir dan akan berulang. Contoh: 3/8=0,,375 13/11=1,

Bilangan Irasional  Adalah bilangan yg tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Bilangan Irasional juga merupakan bilangan desimal, namun dalam bentuk desimal yang tidak berulang. Contoh: √2, √3, √5, …., ∏, …

 Latihan 1.docx Latihan 1.docx

Bilangan Kompleks Bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a+bi, dengan a dan b adl elemen bilangan real dan i adalah imajiner atau i=√-1

Struktur Bilangan

Sifat-sifat Medan Jika x, y, dan z adalah elemen R, maka berlaku:  Hukum komulatif, x+y=y+x dan xy=yx  Hukum asosiatif, x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z  Hukum distribusi, x(y+z)=xy+xz  Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi: Identitas penjumlahan: x+0=x Identitas perkalian: x.1=x  Balikan (invers) invers penjumlahan: untuk setiap x elemen R,ada –x elemen R, sehingga berlaku x+(-x)=0 invers perkalian : untuk setiap x elemen R, ada x -1 elemen R, sehingga berlaku x.x -1 =1

Sedikit Logika  Konjungsi : adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung "dan". Operasi konjungsi menggunakan tanda " ∧ ", ditulis "p ∧ q" dibaca "p dan q".  Disjungsi : adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “atau". Operasi disjungsi menggunakan tanda “ ∨ ", ditulis "p ∨ q" dibaca "p atau q".

 Implikasi: adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “jika…maka…". Operasi implikasi menggunakan tanda “ → ", ditulis "p → q" dibaca “jika p maka q".  Biimplikasi : adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika". Operasi implikasi menggunakan tanda “ ↔ ", ditulis "p ↔ q" dibaca "p jika dan hanya jika q.

 Implikasi : p →q  Konvers : q →p  Invers: ∼p → ∼q  Kontraposisi : ∼q → ∼p

Sedikit Pembuktian Teorema : pernyataan dikenalkan dengan kata “tunjukkan bahwa” atau “buktikan bahwa” yang dianggap pasti, namun memerlukan pembuktian. Definisi : pernyataan atau kesepakatan yang bernilai benar, dan perlu diberikan contoh. Aksioma : pernyataan yang tidak perlu diragukan kembali.

Bukti dengan Kontrapositif Teorema : Tunjukkan bahwa jika n 2 adalah genap, maka n adalah genap. Bukti: Andaikan n adalah ganjil, maka n 2 adalah ganjil. Jika n ganjil, maka ada bilangan bulat k sedemikian sehingga n=2k+1. Maka n 2 =(2k+1) 2 =(2k+1) (2k+1) =4k 2 +4k+1 =2(k 2 +2k)+1 Oleh karena itu, n 2 sama dgn satu lebihnya dari dua kali sebuah bilangan bulat. Maka n 2 adalah ganjil. terbukti

Jumlah dari suatu bilangan rasional dan bilangan irasional adalah irasional. Bukti: Jika x elemen rasional maka x=p/q, dan y elemen irasional, maka akan ditunjukkan bahwa x+y irasional: Andaikan x+y rasional, maka x+y=m/n, dimana m dan n elemen bulat, dan n≠0. Maka: x+y= m/n y=m/n-x y=m/n –p/q y=(mq-np)/nq Ini berarti y elemen rasional. Hal ini bertentangan dengan y elemen irasional. terbukti

Sifat-sifat Urutan  Trikotomi. Jika x dan y adl bilangan-bilangan, maka pasti salah satu diantara yang berikut ini berlaku: x y  Ketransitifan. x<y dan y<z, maka x<z  Penjumlahan. x<y jika dan hanya jika x+z<y+z  Perkalian. Bilamana z positif, x yz