DISTRIBUSI PROBABILITAS DALAM SIMULASI

DISTRIBUSI DALAM SIMULASI DISTRIBUSI KONTINU a. Distribusi Normal b. Distribusi Eksponensial DISTRIBUSI DISKRIT a. Distribusi Poisson

DISTRIBUSI KONTINU Distribusi ini memiliki sifat kontinu dimana data yang diamati berjalan secara berkesinambungan dan tidak terputus. Maksudnya adalah bahwa data yang diamati tergantung waktu, seperti kedatangan pelanggan, lama antrian, dan sebagainya. Data yang berdistribusi kontinu ini biasanya dalam bentuk pecahan.

DISTRIBUSI KONTINU Contohnya : Pada waktu kedatangan nasabah suatu bank. Orang pertama datang pukul 06.30 kemudian masuk ke pelayanan 06.31 dan pelanggan selesai dilayani oleh server pukul 06.58

DISTRIBUSI NORMAL Pentingnya distribusi normal : Distribusi normal merupakan model yang baik untuk mendekati frekuensi dari fenomena alam dan sosial jika sampelnya besar. Ada hubungan yang kuat antara besarnya sampel dengan distribusi rata-rata yang diperoleh dari sampel acak yang diambil dari suatu populasi yang sama. Distribusi normal mendekati aproksimasi (pendekatan) yang baik terhadap distribusi teoritis lainnya

DISTRIBUSI NORMAL Model matematik yang digunakan pada distribusi normal adalah : Y = ordinat pada grafik X = skor yang diperoleh

DISTRIBUSI NORMAL Fungsi frekuensi normal tidak memiliki integral yang sederhana sehingga probabilitasnya dihitung dengan menggunakan distribusi normal standar dimana variabel normal standar memiliki rumus sebagai berikut :

DISTRIBUSI NORMAL

DISTRIBUSI NORMAL Diketahui data produksi tekstil PT. ABC sebagai berikut ini. Tentukan apakah data hasil pengamatan tersebut berdistribusi normal atau tidak ! No. Kelas Frekuensi (fi) 1 141-144 5 2 145-148 7 3 149-152 4 153-156 157-160 13 6 161-164 165-168

DISTRIBUSI NORMAL 1. Carilah nilai rata-rata No. Kelas Frekuensi Nilai Tengah (Xi) fi*Xi 1 141-144 5 142.5 712.5 2 145-148 7 146.5 1025.5 3 149-152 150.5 1053.5 4 153-156 154.5 618 157-160 13 158.5 2060.5 6 161-164 162.5 975 165-168 166.5 999 ∑ 48 7444

DISTRIBUSI NORMAL 2. Carilah nilai Simpangan Baku (Standar Deviasi) Kelas Frekuensi Nilai Tengah (Xi) Xi-Xbar (Xi-Xbar)^2 fi(Xi-Xbar)^2 1 141-144 5 142.5 -12.5 156.25 781.25 2 145-148 7 146.5 -8.5 72.25 505.75 3 149-152 150.5 -4.5 20.25 141.75 4 153-156 154.5 -0.5 0.25 157-160 13 158.5 3.5 12.25 159.25 6 161-164 162.5 7.5 56.25 337.5 165-168 166.5 11.5 132.25 793.5 ∑ 48 2720

DISTRIBUSI NORMAL 3. Carilah nilai distribusi normal dengan menggunakan Z

Distribusi Normal F(x) Dari nilai Z yang diperoleh ini kemudian digunakan tabel distribusi normal standar Z untuk memperoleh nilai tabelnya (lihat tabel Z normal) No. Kelas Frekuensi Z Distribusi Normal F(x) 1 141-144 5 -1.56 0.06 2 145-148 7 -1.06 0.14 3 149-152 -0.56 0.29 4 153-156 -0.06 0.48 157-160 13 0.44 0.67 6 161-164 0.94 0.83 165-168 1.44 0.93 ∑ 48

Frekuensi Kumulatif (Fi) DISTRIBUSI NORMAL 4. Gunakan teori Kolmogorov-Smirnov untuk uji H0 Adapun langkah-langkah dalam menggunakan teori Kolmogorov-Smirnov sebagai berikut : a.)Carilah nilai frekuensi Kumulatif (Fi) dari distribusi frekuensi No. Kelas Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (Fi) 1 141-144 5 2 145-148 7 12 3 149-152 19 4 153-156 23 157-160 13 36 6 161-164 42 165-168 48

Frekuensi Kumulatif (Fi) DISTRIBUSI NORMAL b.)Carilah nilai S(x) No. Kelas Frekuensi (fi) Frekuensi Kumulatif (Fi) S(x) 1 141-144 5 0.1 2 145-148 7 12 0.25 3 149-152 19 0.4 4 153-156 23 0.48 157-160 13 36 0.75 6 161-164 42 0.88 165-168 48 ∑

Frekuensi Kumulatif (Fi) Distribusi Normal F(x) c.) Carilah nilai |F(x)-S(x)|. Dari hasil ini, cari nilai terbesar (Thitung) kemudian bandingkan dengan tabel Kolmogorov-Smirnov (W1-α) dengan n sesuai jumlah data pengamatan. No. Kelas Frekuensi Frekuensi Kumulatif (Fi) S(x) Z Distribusi Normal F(x) |F(x)-S(x)| 1 141-144 5 0.1 -1.56 0.06 0.04 2 145-148 7 12 0.25 -1.06 0.14 0.11 3 149-152 19 0.4 -0.56 0.29 4 153-156 23 0.48 -0.06 157-160 13 36 0.75 0.44 0.67 0.08 6 161-164 42 0.88 0.94 0.83 0.05 165-168 48 1.44 0.93 0.07 ∑

DISTRIBUSI NORMAL Dari tabel sebelumnya dipilih nilai terbesar pada kolom |F(x)-S(x)| sebagai (Thitung) yaitu 0,11. Kemudian bandingkan dengan tabel Kolmogorov-Smirnov (W1-α) Thitung = 0,11 ≤ W1-α =0,2. Jadi hasilnya H0 diterima. Dengan demikian disimpulkan bahawa data produksi tekstil PT. ABC berdistribusi Normal.

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Banyak masalah simulasi membutuhkan pemecahan dengan menggunakan distribusi eksponensial, khususnya problem-problem yang melibatkan suatu rentetan kedatangan dan kepergian, seperti simulasi antrian pada bank, pembayaran di supermarket, airport dan lain-lain

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Fungsi umum dari distribusi eksponensial ini adalah sebagai berikut :

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Diketahui data produksi tekstil PT. ABC sebagai berikut ini. Tentukan apakah data hasil pengamatan tersebut berdistribusi eksponesial atau tidak ! No. Kelas Frekuensi (fi) 1 141-144 5 2 145-148 7 3 149-152 4 153-156 157-160 13 6 161-164 165-168

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Proses perhitungan dan proses mencari nilai tengah Xi sampai proses menghitung nilai S(x) menggunakan rumus yang sama dengan distribusi normal. Untuk mencari nilai F(x), hanya rumus kumulatif dari fungsi distribusi eksponensial yang digunakan. Jadi langkah perhitungan untuk mencari β (X bar), Xi , Fi , dan S(x) adalah sama dengan distribusi normal

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL 1. Nilai rata-rata No. Kelas Frekuensi Nilai Tengah (Xi) fi*Xi 1 141-144 5 142.5 712.5 2 145-148 7 146.5 1025.5 3 149-152 150.5 1053.5 4 153-156 154.5 618 157-160 13 158.5 2060.5 6 161-164 162.5 975 165-168 166.5 999 ∑ 48 7444

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL 2. Carilah nilai F(x) Adapun langkah penyelesaiannya sebagai berikut : a) Menggunakan rumus kumulatif distribusi eksponesial

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL b) Mencai nilai |F(x)-S(x)| Proses yang dilakukan sama dengan distribusi normal yaitu mencari nilai Thitung yang dibandingkan dengan tabel Kolmogorov-Smirnov (W1-α ) dengan n=48. No. Kelas Frekuensi Frekuensi Kumulatif (Fi) S(x) Distribusi Normal F(x) |F(x)-S(x)| 1 141-144 5 0.1 0.6 0.5 2 145-148 7 12 0.25 0.61 0.36 3 149-152 19 0.4 0.62 0.22 4 153-156 23 0.48 0.63 0.15 157-160 13 36 0.75 0.64 0.11 6 161-164 42 0.88 0.65 0.23 165-168 48 0.66 0.34 ∑

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Dari tabel sebelumnya dipilih nilai terbesar pada kolom |F(x)-S(x)| sebagai (Thitung) yaitu 0,5. Kemudian bandingkan dengan tabel Kolmogorov-Smirnov (W1-α) Thitung = 0,5 > W1-α =0,2. Jadi hasilnya H0 ditolak. Dengan demikian disimpulkan bahwa data produksi tekstil PT. ABC Tidak berdistribusi Eksponensial.

DISTRIBUSI DISKRIT Distribusi ini digunakan untuk pendekatan terhadap data yang bukan pecahan (seperti data yang tidak tergantung waktu). Distribusi ini diberlakukan pada data yang pasti dan sifatnya bulat.

DISTRIBUSI DISKRIT Contoh : Jumlah kendaraan bermotor yang masuk ruang parkir STMIK Dp pada tahun 2016-2017 pukul 07.00-09.00 setiap hari senin, minimal 51 sepeda motor dan maksimal 123 sepeda motor

DISTRIBUSI POISSON Distribusi poisson memiliki keterkaitan erat dengan distribusi eksponensial, sering digunakan pada banyak masalah simulasi yang berhubungan dengan kedatangan dan kepergian suatu peristiwa yang tidak dinyatakan atau melibatkan waktu (jam) terhadap data kedatangan dan kepergiannya.

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Digunakan untuk menguji seberapa tepatkah frekuensi yang teramati (fo) cocok atau sesuai dengan frekuensi yang diharapkan (fe)

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN : Menetapkan hipotesis Menghitung Statistik uji Menentukan taraf nyata dan nilai kritis Uji statistik Chi kuadrat Menentukan daerah keputusan/penolakan Menentukan keputusan (Kriteria penolakan)

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN : Menetapkan hipotesis Hipotesis: Ho : Tidak ada perbedaan antara fo dengan fe H1 : Ada perbedaan antara fo dengan fe

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Menghitung Statistik uji fe dapat dihitung dengan mencari P(X=x).n dimana P(X=x) adalah probabilitas dari distribusi teoritis yang ditentukan pada hipotesa awal. Banyaknya parameter pada distribusi poisson adalah satu, yaitu μ yang menyatakan nilai rata-rata.

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Menghitung Statistik uji Rata-rata hitung dari distribusi Poisson : P(X=x) = probabilitas e = 2.7183 μ = rata-rata yanf didekati dengan x bar X = nilai tengah

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Menghitung Statistik uji Untuk mencari fe atau E, digunakan rumus : Ei = frekuensi harapan P(X-x) = probabilitas n = jumlah sample

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Menentukan taraf nyata dan nilai kritis Taraf nyata adalah daya toleransi kita terhadap kemungkinan kesalahan. Taraf nyata biasanya berkisar antara 1-10%, dan tabel yang tersedia biasanya 1%, 2%, 5% dan 10%. Untuk bidang-bidang yang sangat kritis terhadap kehidupan biasanya menggunakan taraf nyata 1% dan 5%.

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Menentukan taraf nyata dan nilai kritis Untuk menentukan nilai kritis dengan distribusi chi kuadrat diperlukan pengetahuan akan derajat bebbas dimana df = n-k (n : kategori/sampel, k:variabel)

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Uji statistik Chi Square Hipotesis yang diuji adalah kesesuaian antara nilai fo dengan fe dan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus pearson sbb :

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Menentukan daerah keputusan Aturan pengambilan keputusan adalah menerima Ho jika nilai chi kuadrat hasil perhitungan ≤ chi kuadrat tabel. Jika nilai chi kuadrat hitunga > chi kuadrat tabel, maka Ho ditolak dan H1 diterima.

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) No. Frekuensi (Oi) Xi Xi*Oi P(X=x) Ei Chi-Kuadrat (Hitung) 1 15 5 0.151 9.06 3.89 2 18 36 0.226 13.56 1.45 3 10 30 0.93 4 8 32 0.17 10.2 0.47 0.102 6.12 1.59 6 24 0.051 3.06 0.29 7 14 0.022 1.32 0.35 ∑ 60 166 0.948 52.5 8.33

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Jika nilai lebih kecil atau sama dengan 5 (lima) ketika dijumlahkan menjadi lebih besar dari lima, maka tidak perlu ditambahkan. Tapi jika terdapart 3 angka yang lebih kecil dari 5 dan ketika dijumlahkan masih lebih kecil dari 5, maka tambah lagi dengan yang terdekat untuk mendapatkan nilai lebih besar dari 5.

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) No. Frekuensi Xi Xi*Oi P(X=x) Ei Chi-Kuadrat (Hitung) 1 15 0.151 9.06 3.89 2 18 36 0.226 13.56 1.45 3 10 30 0.93 4 8 32 0.17 10.2 0.47 5 9 45 0.102 10.5 0.21 ∑ 60 158 0.875 56.88 6.95 Ketika Ei yang terakhir seluruhnya lebih besar dari 5 maka pengujian Goodness of Fit Pearson dapat dilakukan dengan membandingkannya dengan jumlah dari Chi- Square(hitung)

UJI KESELARASAN PEARSON’S (PEARSON’S TEST GOODNESS OF FIT) Bandingkan nilai Chi-Square(hitung) dengan Chi- Square(Tabel) . Dengan df=n-1=5-1=4, kemudian α=0.05 diperoleh nilai Chi-Square(Tabel) =9.49. Jadi dengan membandingkannya diperoleh hubungan Chi-Square(Hitung) =6.95 < Chi-Square(Tabel) =9.49. Maka H0 diterima Dengan demikian disimpulkan data tersebut berdistribusi Poisson