BILANGAN KOMPLEKS Definisi 1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: z = x + iy Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x disebut bagian real dan y disebut bagian imajiner dari z. Bagian real dinyatakan dengan Re(z) dan bagian imaginer dinyatakan dengan Im(z).

Jika z1=x1+ iy1 dan z2=x2 + iy2 z1=z2 dikatakan sama jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2. Penjumlahan Bilangan kompleks : z1+z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2) Perkalian Bilangan kompleks : z1 • z2 = (x1 + iy1) (x2+ iy2) z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }. Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks. Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan dinamakan bilangan imajiner murni.

Sifat-sifat Bilangan Kompleks Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1. z1+z2 ∈ ℂ dan z1•z2 ∈ ℂ . (sifat tertutup) 2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3) (sifat assosiatif) 4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)

6. Ada 1=1+i0 ∈ ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian 7. Untuk setiap z = x + iy  ℂ, ada –z = – x – iy sehingga z+(–z)=0 8. Untuk setiap z=x+iy  ℂ, ada z-1=sehingga z•z-1= 1.

Latihan : 1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2, buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2) 2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i. tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2

Kompleks Sekawan Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai : (x,–y) = x – iy. Contoh: sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :

Teorema 1 : a. Jika z bilangan kompleks, maka : 1. 2. 3. 4.

Koordinat Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z = x + iy dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Sumbu x disebut sumbu Real dan sumbu y disebut sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut disebut bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x + iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z..

Bidang Kompleks Dalam Koordinat Kartesian

Penjumlahan Vektor Bilangan Kompleks

Pengurangan Vektor Bilangan Kompleks

Teorema 2 : A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku : 1. 2. 3. 4. 5.

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku : 1. 2. 3. 4. 5. Latihan : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x + iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

Perkalian Bilangan Kompleks 9 Bukti:

2. Pembagian Bil. Kompleks Bukti

3. Bukti:

4. Bukti:

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks Selain dinyatakan dalam bentuk z = x + iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

Hubungan antara keduanya, dan adalah : x = r cos , y = r sin, sehingga  = arc tan  adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat juga Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis . dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ).

Definisi 5 : Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos  + i sin ), sudut  disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut  dengan 0  < 2 atau - <    disebut argument utama dari z, ditulis  = Arg z. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.

Bentuk Euler : Penulisan Bilangan kompleks : z = (x , y) = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis , Penulisan Bilangan kompleks z bentuk Euler (eksponen), yaitu : z = rei, dan sekawannya adalah re-i.

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Jawab : z = 1 + i, r = , tan  = 1, sehingga  = 45⁰=  Bentuk polar z = (cos  + i sin ) Bentuk eksponen (euler) z = cis  =

Perkalian dan Pemangkatan Bilangan kompleks dalam bentuk kutub/polar adalah z = r(cos  + i sin ). Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka hasil perkaliannya sebagai berikut : z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) + i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)] Cos(1+ 2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2 sin(1+ 2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2 Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z … z = zn ?

Jika diketahui: z1 = r1(cos 1 + i sin 1) z2 = r2(cos 2 + i sin 2) zn = rn(cos n + i sin n), untuk n bilangan asli, maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] . Akibatnya jika, z = r(cos  + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1 Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre (cos  + i sin )n = cos n + i sin n, n bilangan asli.

Pembagian: Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)] Dari rumus di atas diperoleh: arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

. . . . . . . 2 Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ), maka: Untuk: . Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat : . . . . . . . 2

Dari 1 dan 2 diperoleh: , Dalil De-Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat.

Contoh: Hitunglah : Jawab : Misalkan maka karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis . Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos + i sin), sehingga n = r dan n=  + 2k , k bulat. Akibatnya dan Jadi . . .

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 0  < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

Contoh : Hitunglah Z = (-81)1/4 Jawab : Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81. Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800), sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800), diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan . Jadi z = 3[cos( )+i sin( )] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy. 2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i. Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2 3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat: a. z-1 = z dan b. 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. ) 6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6 b. z + i = z – i c. 1 < z – i < 3 8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen ! 9. Hitunglah (-2+2i)15 10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : x3- i = 0

TUGAS-1 Diketahui bilangan kompleks Z1 = 3 + i4, Z2 = 5 – i2, dan Z3 = 9 + i Hitunglah : Z1 + Z2 + Z3 Z1.Z2.Z3 (Z1 + Z2).Z3 Z1.Z2 + Z3 Z1/ (Z1 +Z3) Nyatakan Z1, Z2, dan Z2 dalam bentuk polar dan eksponen ! Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.

Sekian