DISTRIBUSI MULTIVARIAT

Distribusi dari Dua Variabel Random Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 3 kali. Ruang sampelnya : C = {c : c1 = TTT, c2 = TTH, c3 = THT, c4 = HTT, c5 = THH, c6 = HTH, c7 = HHT, c8 = HHH}, dimana T = tail dan H = head. Misalkan terdapat 2 variabel random yaitu X1 dan X2, dimana: X1 : jumlah H pada 2 lemparan pertama X2 : jumlah H pada seluruh lemparan Jadi, X1(c1) = X1(TTT) = 0 X2(c1) = X2(TTT) = 0 X1(c2) = X1(TTH) = 0 X2(c2) = X2(TTH) = 1 X1(c3) = X1(THT) = 1 X2(c3) = X2(THT) = 1 X1(c4) = X1(HTT) = 1 X2(c4) = X2(HTT) = 1

X1(c5) = X1(THH) = 1 X2(c5) = X2(THH) = 2 X1(c6) = X1(HTH) = 1 X2(c6) = X2(HTH) = 2 X1(c7) = X1(HHT) = 2 X2(c7) = X2(HHT) = 2 X1(c8) = X1(HHH) = 2 X2(c8) = X2(HHH) = 3 Akan dibentuk pasangan terurut (x1,x2) dimana x1 = X1(c) dan x2 = X2(c) untuk . Jadi pemetaannya, Untuk kasus di atas, A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)}

Definisi ruang A: Diberikan sebuah percobaan random dengan ruang sampel C. Ditentukan 2 variabel random X1 dan X2 dimana pasangan fungsi tersebut memetakan setiap elemen ke satu dan hanya satu pasangan terurut (X1(c) = x1,X2(c)= x2). Sehingga ruang dari (X1,X2) adalah himpunan pasangan terurut : A = {(x1,x2) : x1 = X1(c),x2 = X2(c), }.

Misalkan A adalah ruang dari variabel random X1 dan X2 dan misalkan Misalkan A adalah ruang dari variabel random X1 dan X2 dan misalkan . Akan didefinisikan probabilitas dari kejadian A, dinotasikan dengan Pr((X1,X2) A). Ambil C = {c; c C dan [X1(c),X2(c)] A}, dimana C adalah ruang sampel. Maka Pr((X1,X2) A))= P(C ), dimana P(C ) adalah probability set function yang didefinisikan pada C C . Pr((X1,X2) A)) ditulis sebagai atau P(A)juga merupakan probability set function yang didefinisikan pada A A.

Contoh: Berdasarkan contoh di awal, A = {(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} Misal A = {(1,1),(1,2)} A , maka P(A) = Pr((X1,X2) A))= P(C ) dimana C = {c3,c4,c5,atau c6}. - P({c3}) = Pr(THT) = ½ ½ ½ = 1/8 - P({c4}) = Pr(HTT) = ½ ½ ½ = 1/8 - P({c5}) = Pr(THH) = ½ ½ ½ = 1/8 - P({c6}) = Pr(HTH) = ½ ½ ½ = 1/8 Jadi, P(C) = 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = ½ sehingga P(A) = Pr((X1,X2) A))= P( C) = ½.

Tabel distribusi probabilitas untuk setiap elemen A . (x1 ,x2) (0,0) (0,1) (1,1) (1,2) (2,2) (2,3) Jumlah Pr((X1,X2) =(x1 ,x2)) 1/8 2/8 1

Pdf Bersama dari X dan Y Sifat-sifat fungsi himpunan probabilitas pada 1 variabel berlaku juga untuk 2 variabel random. Misalkan f(x,y) didefinisikan pada A dan f(x,y) = 0 untuk yang lainnya. f(x,y) adalah pdf bersama dari X dan Y, yang memenuhi - P(A) = Pr((X ,Y) A))= untuk X dan Y diskrit - P(A) = Pr((X ,Y) A)) = untuk X dan Y kontinu - P(A ) = 1, yaitu = 1 untuk X dan Y diskrit untuk X dan Y kontinu - f(x,y) > 0, .

Contoh: Misalkan adalah pdf bersama dari X dan Y. -

Fungsi Distribusi Bersama dari X dan Y Misalkan variabel random X dan Y mempunyai fungsi himpunan probabilitas P(A) dimana A adalah himpunan berdimensi 2. Jika dimana maka disebut fungsi distribusi bersama dari X dan Y, dinotasi kan dengan F(x,y). - Apabila X dan Y variabel random kontinu dengan pdf f(x,y), maka dan pada titik-titik dimana f(x,y) kontinu, berlaku

Dapat ditunjukkan (PR) untuk semua konstanta real a<b dan c<d. Contoh : Misalkan pdf dari X dan Y adalah Misalkan Z = X + Y. Tentukan fungsi distribusi dari Z.

Pdf Marginal dari X1atau X2 Misalkan f(x1,x2) adalah pdf bersama dari X1 dan X2 . Ditentukan suatu kejadian {a < X1 < b, a < b}. Kejadian {a < X1 < b, a < b} terjadi jika dan hanya jika kejadian {a < X1 < b, } terjadi . Berarti kejadian {a < X1 < b, a < b} ekivalen dgn kejadian {a < X1 < b, Jadi untuk kasus variabel random kontinu: Untuk variabel random diskrit:

- dan merupakan fungsi dari x1 dan dinotasikan dengan - dan merupakan fungsi dari x1 dan dinotasikan dengan . Jadi, untuk kasus kontinu untuk kasus diskrit

Dapat disimpulkan: 1. untuk kasus kontinu untuk kasus diskrit 2. untuk kasus kontinu disebut pdf marginal dari X1 disebut pdf marginal dari X2.

Contoh: Misalkan X1 dan X2 mempunyai pdf bersama: Tentukan: -pdf marginal dari X1 dan X2. - Hitung dan