Disusun oleh : RIANI WIDIASTUTI, S.Pd MATEMATIKA KELAS XI SEMESTER II DIFERENSIAL / TURUNAN FUNGSI

Penggunaan turunan Persamaan garis singgung pada kurva Fungsi naik dan fungsi turun Penggunaan turunan

PILIH MENU YANG MANA DULU PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA EXIT FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN PENGGUNAAN TURUNAN

Gradien garis singgung Titik stasioner & nilai stasioner Contoh soal Persamaan garis singgung kurva Contoh soal titik dan nilai stasioner

dimana m = gradien dan gambar : Y=f(x) Dari pengertian : dimana m = gradien dan gambar : Y=f(x) y2 y y1 x  x1 x2 X HOME

Maka dapat disimpulkan m suatu gradien 2. Jika terdapat persamaan kurva y = f(x) maka garis singgung kurva pada titik singgung (x1, y1) adalah y = mx + (y1 – mx1) dimana m = f’(x) HOME

3. Beberapa keadaan garis : a. Jika gradiennya > 0, maka keadaan garis naik. b. Jika gradiennya < 0, maka keadaan garis turun. c. Jika gradiennya = 0, maka keadaan garis mendatar. HOME

Jawab : m = y’ = 6x – 4 x = 1  m = 6(1) – 4 = 2 Contoh 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 4x + 5 pada titik (1, 4) Jawab : m = y’ = 6x – 4 x = 1  m = 6(1) – 4 = 2 Pers. garis singgung : y = mx + c  c = y1 – mx1 y = 2x + (4 – 2.1) = 2x – 2 HOME

Jawab : m = 3x2 – 6x x = 2  m = 3(2)2 – 6(2) = 0 Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva berikut : y = x3 – 3x2 + 6 pada titik (2, 2) Jawab : m = 3x2 – 6x x = 2  m = 3(2)2 – 6(2) = 0 Pers. garis singgung : y = mx + c  c = y1 – mx1 y = 0.x + (2 – 0.2) y = 2 HOME

3a2+6a+3= 0 a = -1  titik singgung (-1, 3) a2+2a+1= 0 (a +1)(a+1) = 0 Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3+3x2+x+2 pada titik (a, 3) sejajar dengan garis y = -2x – 5 Jawab : y = x3+3x2+x+2  m1 = 3x2+6x+1 y = -2x – 5  m2 = -2  m1= m2= -2 x = a  m1 = -2 3a2+6a+1= -2 3a2+6a+3= 0 a = -1  titik singgung (-1, 3) a2+2a+1= 0 (a +1)(a+1) = 0 HOME

m = -2 dan titik singgung (-1, 3)  y = mx + (y1 – mx1) y = -2x + [3 – (-2)(-1)] y = -2x + 1 HOME

4. Hubungan kurva dengan garis singgung kurva : 1. Jika garis singgung kurva bergradien > 0, maka kurva naik. 2. Jika garis singgung kurva bergradien < 0, maka kurva turun. 3. Jika garis singgung kurva bergradien = 0, kurva pada titik singgungnya mencapai stasioner (tidak naik dan tidak turun /mendatar) HOME

f’(x1) + Keadaan / \ 5. Beberapa keadaan di sekitar titik stasioner pada kurva : 1. f’(x1) + Keadaan / \ Bentuk gambarnya Berarti titik stasionernya maksimum di (x1, f(x1)), maka Nilai maksimum fungsi adalah ymaks= f(x1) HOME

f‘(x2) + Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya + Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)). Maka nilai minimum fungsi adalah : ymin = f(x2) HOME

berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4)) 4. f‘(x2) Keadaan \ Bentuk gambarnya berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4)) HOME

f‘(x2) + Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya + Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)). Maka nilai minimum fungsi adalah : ymin = f(x2) HOME

y = x3 - 6x2 + 9x – 1 Gambarlah persamaan kurva berikut ini : Jawab : m = y’= 3x2 – 12 x + 9 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x1=1, x2 = 3 y2 = x3 - 6x2 + 9x – 1 = 27 – 54 + 27 – 1 = - 1 y1 = x3 - 6x2 + 9x – 1 = 1 – 6 + 9 – 1 = 3 HOME

m  + - + x  1 3 Titik stasioner min. Titik stasioner maks. ( 1 , 3 ) ( 3 , - 1 ) HOME

Ilustrasi pengertian Pengertian Latihan soal Ilustrasi fungsi naik dan turun Fungsi naik dan fungsi turun Latihan soal

Y=f(x) HOME

Fungsi naik adalah : Fungsi yang nilai f (x) bertambah seiring pertambahan nilai x ke kanan Fungsi turun adalah : Fungsi yang nilai f (x) berkurang seiring pertambahan nilai x ke kanan

m = tg α m = f ‘ (x) dan gambar : Y=f(x) y x Dari pengertian : y2 y1  x1 x2 X HOME

Fungsi naik dan fungsi turun • Jika f ‘ (x) > 0 untuk setiap x dalam interval L, maka fungsi f (x) naik dalam interval L. •Jika f ‘ (x) < 0 untuk setiap x dalam interval L, maka fungsi f (x) turun dalam interval L. Jika f’(x)  0 untuk setiap x dalam interval L, maka f(x) tidak pernah turun pada L. F’(x) ≤ 0 untuk setiap x dalam interval L, maka f(x) tidak pernah naik pada L.

Tentukan interval-interval fungsi f (x) = agar menjadi fungsi naik Contoh : Tentukan interval-interval fungsi f (x) = agar menjadi fungsi naik Jawab : f (x) fungsi naik maka f’ (x) > 0 ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) > 0 Pembuat nol fungsi ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) = 0 x = 3/5 atau x = 1/2 + - + 3/5 1/2 Jadi fungsi f(x) naik pada interval x < 3/5 atau x > 1/2

Tentukan interval-interval fungsi f(x) = agar menjadi fungsi turun Contoh : Tentukan interval-interval fungsi f(x) = agar menjadi fungsi turun Jawab : f (x) fungsi turun maka f’ (x) < 0 ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) < 0 Pembuat nol fungsi ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) = 0 x = 3/5 atau x = 1/2 + - + 3/5 1/2 Jadi fungsi f(x) naik pada interval ½ < x < 3/5

Latihan Tentukan interval di mana fungsi f (x) = ( x + 5 ) ( x – 20 ) turun ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = - x² + 5x + 8 naik ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = 2x³ + 3x² - 12x naik ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = 7 + 24x - 3x² - x³ turun ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = ( x² + 3 ) : ( x – 1 ) naik !

Penggunaan turunan Latihan soal

Merancang dan menyelesaikan model matematika dari soal yang berhubungan dengan nilai maksimum dan minimum: Dalam kehidupan sehari-hari sering sekali, anda dihadapkan pada persoalan nilai maksimum dan nilai minimum seperti menentukan luas terbe – besar, harga termurah, lintasan terbesar, dan kasus lain serupa. Metode nilai maksimum dan nilai minimum merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan persoalan-persoalan tersebut. Untuk menyelesaikan nilai maksimum dan minimum Rumus yang digunakan adalah : f’(x) = 0 HOME

Ilustrasi menentukan luas maksimum suatu daerah Y Berapakah luas maksimum daerah yang diarsir ? 3 Jawab : Luas ? (x, y) Luas ? y X 6 x = 6 – 2y HOME

Luas dalam fungsi y = L(y) = x.y = (6 – 2y)y = 6y – 2y2 Syarat ekstrim : f’(y) = 0 6 – 4y = 0 y = 3/2 y = 3/2  L(y) = (6 – 2y)y = [6 – 2(3/2)] (3/2) = 3(3/2) = 9/2 Jadi luas maksimum = 9/2 satuan luas HOME

Kecepatan dan percepatan: Untuk fungsi yang menyatakan sebagai jarak umumnya disimbolkan sebagai s(t), s satuan jarak dan t satuan waktu maka: Kecepatan = v(t) = s’(t) Percepatan = a(t) = v’(t) HOME

Kecepatan dan percepatan: Terdapat lintasan bola yang sedang menggelinding dengan persamaan lintasannya berbentuk h(t) = 3t2 – 12t + 10 dengan h ketinggian bola dalam meter dan t dalam detik. Berapakah ketinggian bola pada saat 2 detik? Berapakah kecepatan bola pada saat 3 detik? Berapakah percepatan bola pada saat 5 detik? Kapankah ketinggiannya mencapai minimum?

Jawab : h(2) = 3t2 – 12t + 10 = 3(2)2 –12(2) +10 = 12 – 24 + 10 = - 2 meter b. V(t) = h’(t) = 6t – 12 = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6 m/det Jawab : c. a(t) = v’(t) = 6 m/det2 d. Syarat ekstrim: h’(t) = 0 6t – 12 = 0  t = 2 detik Jadi ketinggian minimum tercapai pada saat t = 2 detik.

1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang 1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Tanah ini akan dipagar untuk peternakan sapi. Pagar ka-wat yang tersedia panjangnya 800 m. Tentukan luas maksimum peternakan sapi itu ! 2. Tinggi suatu roket setelah t detik adalah h(t)= 900t – 5t². Tentukan tinggi maksimum roket tersebut ! 3.Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari dinyatakan ribu rupiah, tentukan biaya minimum proyek tersebut !

SEKIAN DAN TERIMAKASIH