EKSPEKTASI DAN VARIANSI TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-7

Definisi Ekspektasi Matematis Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x). Mean atau nilai (expected value) dari X adalah: =E(X)= jika X diskrit dan jika X kontinu

Contoh Ekspektasi Matematis 1.Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu? 2.Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana X memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut: f(x)= tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut!

Diberikan variabel random g(X) yang nilainya tergantung pada X Diberikan variabel random g(X) yang nilainya tergantung pada X. Jika X merupakan variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai harapan dari variabel random g(X) adalah: g(X) = E[g(X)] = jika X adalah diskrit, dan jika X kontinu.

Curah hujan di suatu bulan tertentu bervariasi antara –1 sampai 2 desiliter dari curah hujan standar. Tetapkan X sebagai variabel random yang menunjukkan variasi curah hujan dari standar (dalam desiliter). Variabel random X ini memiliki pdf: Jika g(X) = 3X + 3 merupakan fungsi yang menunjukkan hasil panen (dalam ton/hektar) yang dapat diperoleh pada saat curah hujan bervariasi sebesar X desiliter dari standar, tentukan ekspektasi hasil panen dalam jangka panjang.

Ekspektasi Variabel Random Bivariat Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x,y). Rataan atau nilai harapan dari variabel random g(X,Y) adalah: g(X,Y) = E[g(X,Y)] = jika X dan Y adalah diskrit, dan jika X dan Y kontinu.

Contoh Ekspektasi Bivariat Tentukan ekspektasi dari fungsi g(X,Y) = Y/X, diberikan f(x,y) =

Definisi Variansi Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rataan . Variansi dari X adalah 2 = E[(X - )2] = jika X adalah diskrit dan jika x kontinu. Akar kuadrat positif dari variansi, atau ,disebut dengan deviasi standar.

Teorema variansi Variansi variabel random X adalah: 2 = E(X)2  2

Contoh Perhitungan Variansi 1. Hitunglah variansi dari variabel random angka hasil pelemparan dadu! 2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi!

Kovariansi Dua Variabel Random Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x,y). Kovariansi dari X dan Y adalah: XY = E[(XX)(Y Y)] = jika X dan Y adalah diskrit, dan jika X dan Y kontinu.

Teorema Kovariansi Kovariansi dari dua variabel random X dan Y dengan rataan X dan Y, berturut-turut, diberikan oleh: XY = E(XY)  X Y

Contoh Perhitungan Kovariansi Fraksi pelari laki-laki X dan fraksi pelari perempuan Y yang bertanding pada suatu lomba digambarkan oleh joint distribution function: f(x,y) = Hitung kovariansi antara X dan Y!

Definisi Korelasi Diberikan variabel random X dan Y dengan kovariansi XY dan deviasi standar berturut-turut X dan Y. Koefisien korelasi antara X dan Y adalah: XY =

Rumus-rumus Ekspektasi E(aX+b) = aE(X) + b E(b) = b E(aX) = aE(X) E[g(X)  h(X)] = E[g(X)]  E[h(X)] E[g(X,Y)  h(X,Y)] = E[g(X,Y)]  E[h(X,Y)] E[g(X)  h(Y)] = E[g(X)]  E[h(Y)] E[X  Y ] = E[g(X)]  E[h(Y)] E(XY) = E(X) E(Y)

Rumus-rumus Variansi