Selamat Datang Dalam Kuliah Terbuka Ini

Kuliah terbuka kali ini berjudul “Pilihan Topik Matematika -III”

Disajikan oleh Sudaryatno Sudirham melalui www.darpublic.com

Sesi 2 Matriks

1. Pengertian Tentang Matriks Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. Contoh: Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks. Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata. baris kolom Notasi: Nama matriks: huruf besar cetak tebal. Contoh:

Elemen Matriks Ukuran Matriks Isi suatu matriks disebut elemen matriks Contoh: 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen matriks yang membentuk baris 2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom Ukuran Matriks Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari bk elemen-elemen Ukuran matriks dinyatakan sebagai bk Contoh: adalah matriks berukuran 23

Nama Khusus Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar. Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b  k disebut matrik segi panjang Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal Contoh: b = k = 3 matriks bujur sangkar 33 b = 2, k = 3 matriks segi panjang 23 k = 1 vektor kolom b = 1 vektor baris

Diagonal Utama Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama

Matriks Segitiga Ada dua macam matriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: Matriks segitiga bawah : Matriks segitiga atas :

Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Contoh:

Matriks Satuan Matriks Nol Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan. Contoh: Matriks Nol Matriks nol, 0, yang berukuran mn adalah matriks yang berukuran mn dengan semua elemennya bernilai nol.

Anak matriks atau sub-matriks Contoh: Matriks B memiliki: - Dua anak matriks 1 3 , yaitu: - Tiga anak matriks 2 1, yaitu: - Enam anak matriks 1 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 1 2 yaitu: - Tiga anak matriks 22 yaitu:

Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor Contoh: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks berupa vektor baris Contoh yang lain: dapat kita pandang sebagai matriks dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom

2. Operasi Matriks Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Contoh: A = B Jika maka haruslah .

Matriks Negatif Negatif dari matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (1). Contoh:

Penjumlahan Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran mn adalah sebuah matriks C berukuran mn yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama Contoh: Jika maka Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Pengurangan Matriks Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif Contoh:

Perkalian Matriks Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan. Perkalian matriks tidak komutatif. Jadi jika matriks A berukuran mn dan B berukuran pq maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran mq dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran mn adalah matriks berukuran mn yang seluruh elemennya bernilai a kali. aA = Aa Contoh: Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. Perkalian Internal Vektor (dot product) Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris vektor b. Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan. Contoh: vektor baris: vektor kolom: 2 baris 2 kolom . perkalian internal dapat dilakukan Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda Perkalian matriks tidak komutatif.

Perkalian Matriks Dengan Vektor Contoh: Misalkan dan 2 baris 2 kolom dapat dikalikan Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar Contoh: dan baris = 2 kolom = 2 dapat dikalikan Matriks A kita pandang sebagai Matriks B kita pandang sebagai

Perkalian dua matriks persegi panjang Contoh: dan baris = 3 dapat dikalikan kolom = 3

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah sehingga , Dalam operasi perkalian matriks: matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom .

Sifat-sifat perkalian matriks Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB  BA c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku. Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

3. Putaran Matriks Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT Jika maka

Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris. Contoh:

Putaran Jumlah Dua Vektor Baris Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor Contoh: Jika maka Secara umum :

Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan dibalik Contoh: Jika maka

Contoh: Jika maka Secara umum :

Putaran Matriks Persegi Panjang Contoh: Jika maka Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris maka Jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom maka

Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. Putaran Jumlah Matriks Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. Jika dan maka Dengan demikian

Putaran Hasil Kali Matriks Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom. Jika dan maka Dengan demikian maka

dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Matriks Simetris Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila Jika dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol.

Pilihan Topik Matematika III Kuliah Terbuka Pilihan Topik Matematika III Sesi 2 Sudaryatno Sudirham