ANALISIS DERET WAKTU Abdul Kudus, SSi., MSi., PhD.

MODEL-MODEL STASIONER Cocok utk deret residu yg tidak ada trend atau musiman. Taksiran model stasioner dapat digabungkan dengan taksiran model regresi utk meningkatkan kemampuan ramalan. Deret Stasioner yang Ketat (Strictly Stationary Series) Model deret waktu {xt} dikatakan strictly stationary, jika distribusi bersama dari = distribusi bersama dari untuk semua t1,..., tn dan m. Sehingga distribusi tidak berubah setelah terjadi perubahan waktu sebesar m. Implikasinya: - rata-rata dan varians konstan seiring waktu - Cov(xt,xs) hanya tergantung dari besarnya lag k = |t – s| yang sering ditulis  (k). Jika suatu deret waktu tidak strictly stationary, tetapi rata-rata dan varians-nya konstan dan otokovarians-nya hanya tgt dari lag, maka disebut second-order stationary.

Model Rata-rata Bergerak (Moving Average, MA) Proses MA(q): Definisi dan Sifat Proses MA berorde q mrp kombinasi linier dari white noise saat ini (waktu t) dan q buah white noise terakhir. .....(1) dimana {wt} adalah white noise dgn rata-rata nol dan varians Model (1) dpt ditulis menggunakan backward shift operator B dimana q mrp polinom berorde q. Oleh karena proses MA terdiri atas jumlah terhingga dr white noise yg stasioner, maka ia bersifat stasioner sehingga mempunyai rata-rata dan autokovarians yg tidak tgt pada waktu. Sifat-sifat dari MA(q): -Rata-ratanya nol Varians-nya Fungsi autokorelasinya (ACF) dengan 0 = 1

Proses MA bersifat invertible (dpt dibalik) jika dpt dinyatakan sbg proses autoregresif stasioner berorde berhingga tanpa suku error. Contoh: proses MA dapat ditulis dengan syarat || < 1. Secara umum, proses MA(q) bersifat invertible jika akar-akar dari q(B) semuanya lebih besar dari 1 (dalam tanda mutlak).

Contoh korelogram MA(3) (a) ACF MA(3) dgn 1 = 0.7, 2 = 0.5 dan 3 = 0.2 (b) ACF MA(3) dgn 1 = 0.7, 2 = 0.5 dan 3 =  0.2

Simulasi MA(3) > set.seed(1) > b <- c(0.8, 0.6, 0.4) > x <- w <- rnorm(1000) > for (t in 4:1000) + { + for (j in 1:3) x[t] <- x[t] + b[j] * w[t-j] + } > plot(x, type = "l") > acf(x)

Menaksir Model Data Hasil Simulasi Model MA(q) dapat ditaksir dengan perintah arima dimana parameter order-nya diset c(0,0,q). > x.ma <- arima(x, order = c(0, 0, 3)) > x.ma Call: arima(x = x, order = c(0, 0, 3)) Coefficients: ma1 ma2 ma3 intercept 0.7898 0.5665 0.3959 -0.0322 s.e. 0.0307 0.0351 0.0320 0.0898

Model Campuran: Proses ARMA Definisi Ingat kembali bhw deret waktu {xt} mrp proses autoregresif berorde p, AR(p), jika dimana {wt} adalah white noise dan i mrp parameter dgn p0. Model ARMA dibentuk dengan menggabungkan AR dan MA ke dalam satu model. Deret waktu {xt} mrp proses autoregresif moving average (ARMA) berorde (p,q), dinotasikan dgn ARMA(p,q) Deret waktu {xt} mrp proses autoregresif moving average (ARMA) berorde (p,q), dinotasikan dgn ARMA(p,q) yg bisa ditulis dgn operator backward shift

Beberapa catatan ttg proses ARMA(p,q) Proses tsb bersifat stasioner jika akar-akar dari polinom  semuanya lebih besar dr 1 (dalam tanda mutlak) Proses tsb bersifat invertible jika akar-akar dari polinom  semuanya lebih besar dr 1 (dalam tanda mutlak) Model AR(p) = ARMA(p,0) Model MA(q) = ARMA(0,q) Kesederhanaan parameter. Jika dilakukan penaksiran model thd data, model ARMA seringkali mengandung parameter lebih sedikit daripada model tunggal MA atau AR. Parameter redundancy. Jika polinom  dan polinom  berisi faktor yang sama, maka model stasionernya bisa disederhanakan. Misal

Penurunan Sifat Orde-Kedua bagi Model ARMA(p,q) (hal. 128)

Simulasi Proses ARMA (dan lebih lanjut lagi proses ARIMA yg akan dibahas kemudian) dpt disimulasikan menggunakan perintah arima.sim. Sebagai contoh proses ARMA(1,1) dengan parameter  = 0.6 dan  = 0.5, yakni > set.seed(1) > x <- arima.sim(n = 10000, list(ar = -0.6, ma = 0.5)) > plot(x)

Penaksiran Model ARMA (p,q) dapat ditaksir dengan perintah arima dengan parameter order diset c(p,0,q). Data yg dibangkitkan mengikuti proses ARMA(1,1) ditaksir sbb: > taksir.arma11 <- arima(x, order = c(1, 0, 1)) > print(taksir.arma11) Call: arima(x = x, order = c(1, 0, 1)) Coefficients: ar1 ma1 intercept -0.5970 0.5027 -0.0066 s.e. 0.0494 0.0530 0.0095 sigma^2 estimated as 1.024: log likelihood = -14309.65, aic = 28627.29

Penaksiran Model utk Data Kurs Mata Uang Kita coba taksir dengan model MA(1), AR(1) dan ARMA (1,1) dan bandingkan AIC-nya. > www <- "c:/pounds_nz.dat" > x <- read.table(www, header = T) > x.ts <- ts(x, st = 1991, fr = 4) > x.ma <- arima(x.ts, order = c(0, 0, 1)) > x.ar <- arima(x.ts, order = c(1, 0, 0)) > x.arma <- arima(x.ts, order = c(1, 0, 1)) > AIC(x.ma) [1] -3.526895 > AIC(x.ar) [1] -37.40417 > AIC(x.arma) [1] -42.27357 AIC terbesar AIC kedua terkecil AIC terkecil

> print(x.arma) Coefficients: ar1 ma1 intercept 0.8925 0.5319 2.9597 s.e. 0.0759 0.2021 0.2435 sigma^2 estimated as 0.01505: log likelihood = 25.14, aic = -42.27 > acf(resid(x.arma))