Mathematics III TS 4353 Class B Integral Rangkap Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University

Integral Rangkap Dua Integral garis Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤ x ≤ b pada sumbu x. Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua (x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan tertutup pada suatu bidang xy. Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Integral Rangkap Dua Y a b c d A B P Q Z = F(Xk, Yk) ΔAk = ΔXkΔYk ΔYk ΔXk D X D dibagi n daerah bagian ΔDk dengan luas ΔAk (k=1, 2, 3, …, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk). Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

D dicakup oleh pertidaksamaan: D = daerah integrasi D dicakup oleh pertidaksamaan: a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB  f1(x) ≤ y ≤ f2(x) c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP  g1(y) ≤ x ≤ g2(y) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Diintegralkan terhadap y dengan menganggap x konstan Diintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example 1 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example 2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example 3 Diketahui a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinya b/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I y=x x=y x=y2/3 y = x3/2 1 x y Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example 3 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Diketahui: Y x=y 2 y=2 y=x y =1 X 1 x=0 2 x=0 x=y y=2 y =1 y=x Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Aplikasi Integral Lipat Dua Perhitungan Luas dy dx D X Y Elemen luas dL = dx dy Luas: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x2 dan y=1 -1 y=2-x2 Titik-titik potong y = 2-x2 2-x2 = 1 y = 1 1-x2 = 0 x = -1 or x = 1 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 dan x+y = 2 -2 1 Y Titik-titik potong x = y2 y2=2-y x= 2-y y2+y-2 = 0 (y-1)(y+2)=0 y=1 or y=-2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Massa ρ= ρ(x,y) Rapat massa dy dx ρ= ρ(x,y) X Y Rapat massa (untuk pelat tipis  tidak punya ketebalan) Elemen massa dM= ρ dx dy Massa : Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi y=2√x, sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x. Y y = 2√x k = konstanta kesebandingan ρ = ky y X x = 4 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat dy dx ρ= ρ(x,y) X Y y x Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ρ dx dy Momen terhadap sumbu x: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ρ dx dy Momen terhadap sumbu y: Pusat Massa Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis (pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang dibatasi kurva y=x dan y=x2 X Y y=x2 y=x D ρ = c (konstan) Titik-titik potong y = x2 x2=x y= x x2-x = 0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 1 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Pusat massa : (1/2, 2/5) Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Momen Inersia dy dx ρ= ρ(x,y) X Y D y x r Elemen momen inersia thd sumbu x: dIx= y2 ρ dx dy Momen inersia thd sb x: Elemen momen inersia thd sumbu y: dIy= x2 ρ dx dy Momen inersia thd sb y: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Momen Inersia thd titik pusat O Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Tentukan momen inersia terhadap: a/. Sumbu x b/. Sumbu y c/. Titik pusat O yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x2 X Y y=x2 y=x D ρ = c (konstan) Titik-titik potong: y=x2 x2=x y=x x2-x=0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Volume Elemen volume dV = z dx dy Volume: Z Z= f(x,y) Y D Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

X Y Z Oktan (ruang) + I - II III IV V VI VII VIII Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di oktan pertama! Z 6 z = 6 – 2x – 3y Y 2 3 X Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi z=y, y=x2 dan x=y2 Y y=x2 x=y2 y=x1/2 x=0 y=x2 x=1 Z X Y z = y X y=x2 x=y2 z = y y=x2 x=y2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Luas Permukaan Kulit Z X Y Z= f(x,y) k = ? Elemen luas permukaan/ kulit: Luas permukaan/ kulit: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di oktan I y = (6-3x)/2 z = 6 - 3x – 2y X Y 2 X Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Sistem Koordinat Polar/ Kutub Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar: x = r cos θ y = r sin θ Y x P(x,y) = P(r,θ) r y θ X O Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Nilai Jacobian Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung luas daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4 Y -2 Sistem Koordinat Kartesius Sistem Koordinat Polar r 2 b 2π Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina homogen x2 + y2 = a2 di atas sumbu x Sistem koordinat kartesius: x2+y2=a2 -a a Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Integral Rangkap Tiga Z ∆zk f(x,y,z) ∆yk ∆xk Y X Diintegralkan thd z dengan menganggap x,y konstan Diintegralkan thd y dengan menganggap x konstan Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Aplikasi Integral Lipat Tiga Perhitungan Volume ∆xk ∆yk ∆zk Z Y X Elemen volume: dV = dx dy dz Volume: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung volume benda yang dibatasi tabung x2 + z2 = 4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di oktan I. Tabung x2 + z2 =4  z=√4-x2 Bidang XOZ  y = 0 X Bid XOY  z =0 Bid Y=X Z Y y = x 2 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Massa Elemen massa: dM= ρ dx dy dz Massa: Z dz dy dx Y X ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa Elemen massa: dM= ρ dx dy dz Massa: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Momen terhadap bidang: Titik Berat: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-x2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan I! Z X Y z = 1-x2 y = 2 1 2 Bidang XOZ y = 0 Bidang XOY z = 0 Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Perhitungan Momen Inersia dx dy dz Z Y X ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa Momen inersia thd sb x: Momen inersia thd sb y: Momen inersia thd sb z: Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen dgn panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2! Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Sistem Koordinat Tabung Z Y X P(x,y,z)= P(r,θ,z) θ O r Transformasi Koordinat: x = r cos θ y = r sin θ z = z x y Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Nilai Jacobian Dengan demikian Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung momen inersia terhadap sb z dari tabung homogen x2 + y2 = 4 dan tingginya 3. Z Y x2 + y2 = 4 X Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Sistem koordinat polar Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Sistem Koordinat Bola Transformasi Koordinat: x = r cos θ sin Ø Z Y X P(x,y,z)= P(r,θ,Ø) θ O r Ø Transformasi Koordinat: x = r cos θ sin Ø y = r sin θ sin Ø z = r cos Ø Z r P(x,y,z)= P(r,θ,Ø) Ø Y r θ X Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Nilai Jacobian Dengan demikian Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Example Hitung volume benda yang dibatasi x2 + y2 + z2 = a2 di oktan pertama! Z a Ø Y θ a a X Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Selesaikan Soal-soal di bawah ini! Tentukan luas daerah yang dibatasi y = x2 – 2x dan y = x. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva y = 5 – x2 dan garis y = 1, x = -1 dan x = 2. Tentukan titik berat pelat tipis homogen yang dibatasi kurva y = 2x – x2 dan sumbu x. Tentukan titik berat pelat tipis homogen yang dibatasi kurva y = 1 – x2 dan sumbu x. Tentukan momen inersia terhadap sumbu y dari lamina homogen yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x3. Tentukan momen inersia terhadap sumbu x dari lamina homogen yang dibatasi kurva y2 = 4x dan y = x. Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Hitung volume benda yang dibatasi z =x, y = x2 dan y = x yang terletak di oktan pertama. Hitung luas permukaan benda yang dibatasi x+2y+3z = 6 di oktan pertama. Tentukan massa piringan tipis berbentuk lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 4 jika kerapatan massa piringan tersebut ρ = x2 + y2 Tentukan massa piringan tipis berbentuk lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 4 jika kerapatan massa piringan tersebut ρ = (x2 + y2)^0,5. Hitung volume dan titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-x2, bid XOY, bid XOZ dan bid y=3 yang terletak di oktan I! Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2

Hitung volume dan titik berat benda homogen yang dibatasi z=9-y2, bid YOZ, bid XOY dan bid y=x yang terletak di oktan I! Jurusan Teknik Sipil Matematika III (TS 4353) Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Bab 2