Bilangan Real ® Bil. Rasional (Q) Kalkulus dimulai dari sistem bilangan real dan sifat-sifatnya, kemudian dikembangkan ke dalam bentuk fungsi. Pengantar Bilangan Bulat (Z) Bilangan Asli (N) Integral Taktentu Dari bentuk fungsi inilah dikembangkan lebih jauh sehingga muncul Limit Fungsi yang merupakan pembeda antara kalkulus dengan cabang matematika lainnya Integral Tentu Teknik Pengintegralan Kemajuan Matematika khususnya pada kalkulus, melahirkan Turunan Fungsi (Derivatif) yang dikembangkan dari pemahaman tentang Limit Fungsi. Penggunaan Integral Soal-soal Demikianlah perkembangan Matematika, terus mengalami kemajuan hingga muncul Integral yang merupakan pengembangan dari turunan.

Indikatornya: KOMPETENSI DASAR 1.1 STANDAR KOMPETENSI I: Pengantar Menggunakan konsep integral dalam menyelesaikan masalah. Integral Taktentu KOMPETENSI DASAR 1.1 Menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan integral tak tentu dan integral tentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan Indikatornya: Merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan. Menghitung integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri. Menjelaskan integral tentu dengan menggunakan integral tak tentu. Menghitung integral tentu dengan menggunakan Integral subtitusi. Menghitung integral tentu dengan menggunakan integral parsial. Penggunaan Integral Soal-soal

I. Integral Tak Tentu Pengantar Soal-soal Definisi: Jika anda memakai sepatu, anda dapat melepaskan kembali. Kejadian yang kedua menghapuskan kejadian yang pertama dan mengembalikan keadaan sepatu pada posisi semula. Jika memakai sepatu adalah sebuah operasi, maka melepaskan sepatu merupakakan balikan atau invers dari operasi tersebut. Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan (invers) seperti; pengurangan merupakan balikan dari penjumlahan, pembagian merupakan balikan dari perkalian dan sebagainya. Kita telah mempelajari turunan (diferensial atau derivatif) di kelas XI. Integral merupakan balikan atau invers dari turunan, sehingga integral disebut anti turunan. Integral Taktentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal Definisi: Misal fungsi f adalah turunan pertama dari F, (F’(x)=f(x)) maka F disebut anti turunan dari f.

Pengantar Integral dinotasikan dengan: Penulisannya adalah: Integral Taktentu f(x).dx Integral Tentu Integral tak tentu tidak unik, sebagai contoh; x2, x2+5, x2-7, dan seterusnya yang dincakup oleh x2+c mempunyai turunan 2x sehingga integral dari 2x adalah x2+c. Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal 2x.dx= x2 + c

X … 1 X x2 x3 x4 … F(x)= f(x) dx F’(x) = f(x) Perhatikan tabel berikut! F(x) adalah anti turunan dari f(x): Pengantar 1 X x2 x3 x4 … F’(x) = f(x) X … F(x)= f(x) dx Integral Taktentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan Jadi dapat dirumuskan bahwa: Penggunaan Integral Soal-soal Dengan cara yang sama untuk fungsi trigonometri, anda dapat merumuskan anti turunannya jika turunannya diketahui.

RUMUS-RUMUS INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI: Pengantar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. Integral Taktentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU Pengantar 1. 2. Integral Taktentu Integral Tentu RUMUS TRIGONOMETRI PEMBANTU INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Teknik Pengintegralan 1. 2. 3. 4. Penggunaan Integral Soal-soal

RUMUS TRIGONOMETRI PEMBANTU INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI Pengantar 5 6. 7. 8. 9. 10. Integral Taktentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal

Contoh 1: Selesaikanlah Jawab: Pengantar Soal-soal Integral Tentu Integral Taktentu Jawab: Integral Tentu Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal

Contoh 2: Tentukan hasil dari Jawab: Pengantar Soal-soal Integral Taktentu Tentukan hasil dari Integral Tentu Jawab: Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal

Integral Tentu Pengantar Jika f(x) adalah turunan pertama fungsi F(x) yang kontinu pada selang [a,b] maka berlaku : Integral Taktentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU Penggunaan Integral 1. 2. Soal-soal

Teknik Pengintegralan Pengantar Teknik Pengintegralan Integral Taktentu Kompetensi Dasar 1.2. Integral Tentu Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana Teknik Pengintegralan Indikatornya: Penggunaan Integral Soal-soal Menentukan integral dengan cara substitusi Menetukan integral dengan cara parsial 3. Menentukan integral dengan cara substitusi trigonometri

= INTEGRAL SUBTITUSI INTEGRAL PARSIAL Pengantar INTEGRAL SUBTITUSI INTEGRAL PARSIAL Integral Taktentu Integral Tentu INTEGRAL DENGAN SUBTITUSI TRIGONOMETRI Teknik Pengintegralan Bentuk Penggunaan Integral dimisalkan x = a.sin t untuk memperoleh = a cos t, Soal-soal =

Penggunaan Integral Indikatornya: Kompetensi Dasar 1.3. Pengantar Penggunaan Integral Integral Taktentu Kompetensi Dasar 1.3. Integral Tentu Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar Teknik Pengintegralan Indikatornya: Penggunaan Integral Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. Soal-soal

Pengantar Luas Daerah Antara Kurva y = f(x) dengan sumbu X, dan interval [a,b] Integral Taktentu a. Kurva di atas sumbu X Integral Tentu L = L y=f(x) Y X a b Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral b. Kurva di bawah sumbu X y=f(x) L X Y L = - Soal-soal

2. Menentukan luas daerah antara dua kurva. Pengantar atau Integral Taktentu a b X Y y1 = f(x) y2 = g(x) L Integral Tentu Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal Anda perhatikan gambar ! Pada interval [a,b], kurva y2 di atas dari pada kurva y1, sehingga dalam rumus, y2 - y1 bukan y1 – y2.

diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X pada selang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. 3. Pengantar Integral Taktentu X Y a b y = f(x) Integral Tentu Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal

Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada selang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. 4. Pengantar Integral Taktentu Integral Tentu X Y a b y1=f(x) y2=g(x) V = atau Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral V = Soal-soal

Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu Y dan [a,b] diputar ke sumbu Y sejauh 360o. 5. Pengantar Integral Taktentu Integral Tentu X Y y = f(x) a b Teknik Pengintegralan Penggunaan Integral Soal-soal

diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600. Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu Y pada selang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600. 6. Pengantar Integral Taktentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X pada selang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 . Penggunaan Integral Soal-soal

Evaluasi KD 1.1 Pengantar Gradien garis singgung pada setiap titik (x,y) dari suatu kurva Dinyatakan dengan Kurva melalui titik (-1,-12) maka persamaan kurva adalah …. 1. Integral Taktentu Integral Tentu Teknik Pengintegralan y = 2x3 – 5x2 + 7x – 12 y = 2x3 – 5x2 + 7x – 2 y = 2x3 – 5x2 + 7x + 2 y = 3x3 – 10x2 + 7x – 2 y = 3x3 – 10x2 + 7x + 2 A. Penggunaan Integral B. Soal-soal C. D. E.

2. x3 – x2 + x – 1 x3 – x2 + x + 1 x3 – x2 + x – 2 3x3 – 2x2 + x – 1 Pengantar Diketahui F’(x) = 3x2 – 2x + 1 dan F(0) = -1, maka F(x) = …. 2. Integral Taktentu A. x3 – x2 + x – 1 x3 – x2 + x + 1 x3 – x2 + x – 2 3x3 – 2x2 + x – 1 3x3 – 2x2 + x – 2 Integral Tentu Teknik Pengintegralan B. C. Penggunaan Integral D. Soal-soal E.

Diketahui 2 6 9 12 15 3. Nilai 3t = …. Pengantar A. B. C. D. Soal-soal Integral Taktentu Integral Tentu 2 6 9 12 15 Teknik Pengintegralan A. B. Penggunaan Integral C. D. Soal-soal E.

4. Nilai 4-4 -1- 1- -1+ 4+4 Pengantar A. B. C. D. Soal-soal E. Integral Taktentu Integral Tentu A. 4-4 Teknik Pengintegralan B. -1- C. 1- Penggunaan Integral D. -1+ Soal-soal E. 4+4

5. Pengantar A. B. C. Soal-soal D. E. Integral Tentu Integral Taktentu Teknik Pengintegralan B. Penggunaan Integral C. Soal-soal D. E.

Evaluasi KD 1.2 1. dx = …. Hasil dari Pengantar A. B. C. Soal-soal D. Integral Taktentu Integral Tentu A. Teknik Pengintegralan B. Penggunaan Integral C. Soal-soal D. E.

2. (x2 – 4) (2x2 – 4) (3x2 – 4) (4x2 – 4) (6x2 – 4) Pengantar A. B. C. Integral Taktentu (x2 – 4) Integral Tentu A. Teknik Pengintegralan (2x2 – 4) B. (3x2 – 4) Penggunaan Integral C. Soal-soal (4x2 – 4) D. (6x2 – 4) E.

3. Nilai – cos (x2+1) + c cos (x2+1) + c – cos (x2+1) + c Pengantar Nilai 3. Integral Taktentu – cos (x2+1) + c cos (x2+1) + c – A. Integral Tentu B. Teknik Pengintegralan C. Penggunaan Integral cos (x2+1) + c -2 cos (x2+1) + c D. Soal-soal E.

4. Hasil dari 2x2sin2x + 8x.cos2x – 16sin 2x + c Pengantar Hasil dari 4. Integral Taktentu A. 2x2sin2x + 8x.cos2x – 16sin 2x + c x2sin2x +2x.cos2x – 2 sin2x +c x sin2x + 2x cos2x + c Integral Tentu B. Teknik Pengintegralan C. Penggunaan Integral D. Soal-soal E.

Evaluasi KD 1.3 Perhatikan gambar berikut! Pengantar Perhatikan gambar berikut! Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …. 1. Integral Taktentu Integral Tentu satuan luas A. Teknik Pengintegralan satuan luas B. X Y y = x y = x2 – 4x + 4 Penggunaan Integral satuan luas C. Soal-soal satuan luas D. satuan luas E.

Pengantar Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah …. 2. Integral Taktentu 54 satuan luas A. Integral Tentu 32 satuan luas B. Teknik Pengintegralan satuan luas C. Penggunaan Integral satuan luas 18 D. Soal-soal satuan luas E.

Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 2, garis x = 1, dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu X adalah … satuan volume. 3. Pengantar Integral Taktentu Integral Tentu A. 34 Teknik Pengintegralan B. 38 Penggunaan Integral C. 46 Soal-soal D. 50 E. 52

4. Volume benda putar yang terjadi juka daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x dan parabola y = x2 diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu X adalah …. Pengantar Integral Taktentu Satuan luas A. Integral Tentu Satuan luas B. Teknik Pengintegralan Satuan luas Penggunaan Integral C. Satuan luas Soal-soal D. Satuan luas E.

Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva pada interval diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah … 5. Pengantar Integral Taktentu Integral Tentu A. Teknik Pengintegralan B. Penggunaan Integral C. Soal-soal D. E.

Volume benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah …. 6. Pengantar Integral Taktentu 16 Satuan volume A. Integral Tentu B. 8 Satuan volume Teknik Pengintegralan C. 6 Satuan volume Penggunaan Integral D. 4 Satuan volume Soal-soal E. 2 Satuan volume