BILANGAN KOMPLEKS

Fokus bahasan Definisi dan ajabar kompleks Beberapa fungsi kompleks sederhana , dan penerapannya pada superposisi gelombang Rangkaian arus bolak-balik(AC)

DEFINISI 1 Lambang i disebut suatu bilangan imajiner satuan , bila memenuhi aturan : i2 = -1 dengan i = (-1) DEFINISI 2 Lambang : a + ib , dengan a dan b real, dan i imajiner satuan, disebut sebuah bilangan kompleks

c = a + ib b = 0, maka c = a (bil. Real ) c = Re(c) + i Im(c) a = 0, maka c = ib ( bil. Imajiner ) a : bagian real kompleks c b : bagian imajiner c c = Re(c) + i Im(c)

Contoh 1 5 atau 5 + 0i : bilangan real 4i atau 0 + 4i : bilangan imajiner 5 – 6i : bilangan kompleks 0 + 0i : nol bilangan kompleks

ALJABAR BILANGAN KOMPLEKS PENJUMLAHAN/PENGURANGAN ( a1 + ib1 ) ± (a2 + ib2 ) = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2) PERKALIAN ( a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = a1a2 + ia1b2 + ib1a2 + i2b1b2 =(a1a2 – b1b2) + i(a1b2+a2b1 ) PEMBAGIAN

Contoh 2 (2 + 5i) + (3 – 2i) = 5 + 3i (4 – 7i) – (2 + 3i ) = 2 – 10i (1 + 3i)(5 – 4i) = 5 – 4i + 15i – 12i2 = 5 – 4i + 15i – 12(-1) = 17 + 11i 4.

PANGKAT REAL BULAT Jika c : sebuah bilangan kompleks, dan n sebuah bilangan real bulat positip, maka definisi pangkat real sebuah bilangan kompleks sbb: c2 = c.c, c3 = c. c. c, . . . , cn = c.c.c. . . . C Jika m dan n dua bilangan real bulat (positip ) c(m+n) = cmcn Pangkat negatip didefinisikan :

KONYUGAT KOMPLEKS ATAU KOMPLEKS SEKAWAN Jika c = a + ib bilangan kompleks, maka (*) disebut konyugat kompleks dari c, didefinisikan sebagai , c* = a* + i*b* dengan sifat , a* = a ; b* = b ; dan i* = -i Sehingga c* = a – ib Contoh 3 ( 2 + 3i )* = 2 – 3i

MODULUS c = a + ib → modulus c : lcl

BIDANG KOMPLEKS z = x + iy = r ( cos  + i sin  ) X Y a b P(a,b) = a+ib P(x,y) θ r Bidang kompleks Pernyataan polar z = x + iy = r ( cos  + i sin  ) (Bentuk polar bil. kompleks) r = modulus z = lzl  = argumen z x = r cos , y = r sin 

Contoh 4 Nyatakan bilangan kompleks 2 – 2i dalam bentuk polar ! Jawab  = arctan (-2/2) = 5π/4 Jadi, 2 – 2i = 2√2 ( cos 5π/4 + i sin 5π/4 )

PERSAMAAN KOMPLEKS DEFINISI “ Dua bilangan kompleks adalah sama , jika dan hanya jika, bagian realnya sama, dan juga bagian imajinernya sama. Jadi, persamaan kompleks : a + ib = p + iq, setara dengan dua persamaan real serempak : a = p dan b= q “ Contoh 5 Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan kompleks : (a) 2ix + 3 = y - i , (b). ( x + iy )2 = 1

(b). x2 + 2ixy – y2 = 1  x2 - y2 = 1 dan 2xy = 0 Penyelesaian : (a). 3 + i (2x) = y + i (-1) 3 = y dan 2x = -1,  x = -1/2 , y = 3 (b). x2 + 2ixy – y2 = 1  x2 - y2 = 1 dan 2xy = 0 x = 0, y ≠ 0, x ≠ 0, y = 0 y2 = -1 ( x dan y : real , sehingga tidak memenuhi ) x2 = 1, x = ± 1 (x1 =1, y1= 0 ; dan x2 =-1, y2=0)