SIMPLEKS BIG-M

Metode Simpleks Vs. Simpleks Big-M Perbedaan metode simpleks dengan metode simpleks Big-M adalah munculnya variabel artificial (variabel buatan), sedangkan metode atau langkah-langkahnya sama. Saat membuat bentuk standar : Jika kendala bertanda “=“, tambahkan ruas kiri satu variabel tambahan berupa variabel artifisial (var. dummy => meaningless) Jika kendala bertanda “>”, kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel dummy

Contoh Min Cost Z = 5X1 + 6X2 Subject to (s/t) X1 + X2 = 1000 Min Cost Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 Subject to (s/t) X1 + X2 + A1 = 1000 X1 + S1 < 300 X2 – S2 + A2 > 150 X1 ; X2 ; A1 ; A2 : S1 ; S2 > 0

Teori Dualitas Persoalan Primal dan Dual Persoalan Primal (asli) Persoalan Dual (kebalikan dari primal) PRIMAL DUAL A. Fungsi Tujuan A. Fungsi Tujuan 1. Maksimisasi Laba 1. Minimisasi Biaya PL gunakan Metode PL gunakan Metode Simpleks (variabel Simpleks Big-M (var. Slek atau +S) buatan atau +A)

PRIMAL F/t Max : Z = 2X1 + 3X2 F/k : 5X1 + 7X2 < 35 F/s : X1 ; X2 > 0 F/t Max : Z = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 F/k : 5X1 + 7X2 + S1 < 35 8X1 + 4X2 + S2 < 40 F/s : X1 ; X2 ; S1 ; S2 > 0 DUAL F/t Min : Z* = 35X1 + 40X2 F/k : 5X1 + 8X2 > 2 7X1 + 4X2 > 3 F/s : X1 ; X2 > 0

DUAL 2. Maksimisasi Laba : PL gunakan Simpleks (variabel slek +S) F/t Max : Z = 24X1 + 30X2 F/k : 3X1 + 5X2 < 2 4X1 + 6X2 < 5 F/s : X1 ; X2 > 0 PRIMAL 2. Minimisasi Biaya : PL gunakan Simpleks Big-M (var.surplus –S dan var. buatan +A) F/t Min : Z = 2X1 + 5X2 F/k : 3X1 + 4X2 > 24 5X1 + 6X2 > 30 F/s : X1 ; X2 > 0

Contoh Soal Sebuah perusahaan agroindustri kedelai hendak memproduksi 2 buah produk, yaitu produk susu kedelai bubuk dan susu kedelai cair, yang masing-masing memerlukan biaya produksi per unitnya sebesar Rp.12.000,00 dan Rp.24.000,00. Kedua produk tersebut harus diproses melalui dua buah mesin, yaitu mesin penggiling kedelai dengan kapasitas sebesar minimal 4 jam orang (man hours) dan mesin pengolah susu kedelai dengan kapasitas paling sedikit 5 jam orang (man hours). Setiap unit produk susu kedelai cair mula-mula diproses pada mesin penggiling selama 1 jam orang, lalu pada mesin pengolah susu kedelai selama 4 jam orang. Sedangkan setiap unit produk susu kedelai bubuk diproses pada mesin penggiling dan mesin pengolah susu kedelai masing-masing 3 jam orang. Buatlah formulasi primal dan dual dari persoalan diatas dan hitunglah berapa lama kombinasi penggunaan mesin penggiling dan mesin pengolah susu kedelai untuk memproduksi produk susu kedelai cair dan susu kedelai bubuk yang optimal sehingga biaya produksi yang dikeluarkan perusahaan menjadi minimal ?

Langkah Penyelesaian Metode Simpleks Big - M 1. Ubahlah tanda pertidaksamaan “>” yang ada pada fungsi kendala menjadi tanda “=“, yaitu dengan memasukkan variabel surplus yang bernilai negatif dan variabel artifisial yang bernilai positif (-S dan +A) 2. Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan artifisial ke dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus = 0 dan koefisien var. artifiasial = M ( M a/d konstanta yang nilainya sangat besar sekali, tapi berhingga, misalnya ribuan, puluhan ribu,dst) 3. Semua variabel tidak boleh negatif 4. Hasil langkah 1 s.d 3, masukkan ke dalam tabel M-Besar

5. Tentukanlah variabel-variabel dasarnya (pada contoh soal A1 dan A2 merupakan variabel dasar dengan koefisien M) 6. Hitunglah nilai-nilai pada baris Z dengan menggunakan perkalian matriks 7. Hitung pula nilai c-z 8. Tentukan variabel masuk (entering variabel), yaitu dengan memilih nilai c-z yang terkecil (bila pada fungsi tujuan a/d untuk minimisasi biaya) Langkah 9 s.d 18 sama dengan penyelesaian metode simpleks yang sebelumnya 9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar dengan variabel masuk

10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus : Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci ) 11. Tentukan varibel keluar (leaving variabel), yaitu dengan cara memilih nilai rasio yang terkecil dan positif. 12. Tentukan baris kunci 13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci. 14. Hitunglah nilai-nilai pada baris A2 pada iterasi ke-2 ( baris A2 baru ) dengan cara : Baris A2 lama : 4 3 0 -1 0 1 5 Baris Pivot : 3(1/3 1 -1/3 0 1/3 0 4/3) - Baris A2 baru : 3 0 1 -1 -1 1 1

15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru 16. Hitung pula nilai C-Z yang baru 17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada nilai negatif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena solusi sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah 18. 18. Ulangilah langkah sejak langkah 8

Formulasi Persoalan Primal : Formulasi Persoalan Dual : F/t Min Biaya : Z = 12X1 + 24X2 F/t Max. Laba : Z* = 4X1 + 5X2 F/k : X1 + 3X2 > 4 F/k : X1 + 4X2 < 12 4X1 + 3X2 > 5 3X1 + 3X2 < 24 F/s : X1 ; X2 > 0 F/s : X1 ; X2 > 0 F/t Min Biaya : Z = 12X1 + 24X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2 F/k : X1 + 3X2 - S1 + A1 > 4 4X1 + 3X2 - S2 + A2 > 5 F/s : X1 ; X2 ; S1 ; S2 ; A1 ; A2 > 0

ANALISIS SENSITIVITAS

Tujuan Untuk mengetahui batas-batas perubahan yang diperbolehkan dan bagaimana dampak perubahan itu terhadap solusi optimum semula

Analisis Ini Meliputi : 1. Menentukan status dari sumberdaya (bahan baku) 2. Menentukan nilai sumberdaya (dual price atau shadow price) 3. Menentukan perubahan ruas kanan kendala (constraint) bahan baku 3.1 Berapa besarnya kisaran atau rentang perubahan bahan baku 3.2 Jika bahan baku berubah bagaimana pengaruhnya 4. Menentukan perubahan koefisien fungsi tujuan (laba) 4.1 Berapa besarnya kisaran atau rentang perubahan laba produk 4.2 Jika laba bersih produk berubah bagaimana pengaruhnya

Contoh Soal Maksimum Laba = 9X1 + 7X2 Kendala 2X1 + X2 < 40 Status X1 ; X2 > 0

Tabel Optimum (Contoh) Cj Solution Mix 9 X1 7 X2 S1 S2 Quantity 1 3/5 -1/5 18 2/5 4 Zj $ 190 Cj - Zj -4 -1

Status Sumberdaya 1. Terbatas (scare / binding) Artinya, semua SD habis terpakai 2. Berlebih (abundant / non-binding) Artinya, tidak semua SD habis terpakai dan masih ada sisa) Berdasarkan Tabel Optimum Sumber Daya Slack Variabel Status 1 S1 = 0 terbatas 2 S2 = 0 terbatas

Dual Price / Shadow Price Sumbangan yang diberikan oleh setiap perubahan unit sumberdaya terhadap keuntungan dalam tabel optimum lihat – (c-z) Sumber Daya Dual Price Artinya 1 y1 = 4 setiap perubahan 1 unit SD-I akan meningkatkan laba sebesar $ 4 2 y2 = 1 setiap perubahan 1 unit SD-2 akan meningkatkan laba sebesar $ 1

Besaran Kisaran (Rentang) Perubahan Bahan Baku Misalnya : Berapa besarnya kisaran / rentang perubahan bahan baku A (sumber daya I) ? Jawab : Quantity S1 Ratio 1 ( = 18) 3/5 (18/ 3/5) = 30 2 ( = 4 ) -1/5 ( 4/ -1/5) = -20 Nilai rasio dengan nilai positf terkecil menunjukkan pengurangan bahan baku Nilai rasio dengan nilai negatif terkecil menunjukkan penambahan bahan baku

Interpretasi Besaran / Kisaran Perubahan Bahan Baku Bahan Baku A (sumber daya 1) saat posisi awal tersedia 40 unit, sehingga bila dilakukan perubahan bahan baku A (tanpa menggangu jalannya operasi perusahaan dan hasil tetap optimum, maka : Bila dilakukan pengurangan bahan baku A maka maksimum perubahan pengurangan bahan baku A a/d sebanyak 30 unit Pengurangan : 40 – 30 = 10 unit Bila dilakukan penambahan bahan baku A maka maksimum perubahan penambahan bahan baku A a/d sebanyak 20 unit. Penambahan : 40 + 20 = 60 unit

Interpretasi Hasil Jika bahan baku A (sumber daya 1) dinaikkan menjadi 50 unit dan bahan baku B (sumber daya 2) tetap tidak berubah. Bagaimana pengaruhnya ? Kolom = INVERS Perubahan Solution Mix Bahan Baku * Invers = matrikx yang terletak di bawah variabel basis awal

Interpretasi Hasil (contoh soal) X1 = 3/5 -1/5 50 = 24 X2 -1/5 2/5 30 2 Sehingga, Z = 9X1 + 7X2 = 216 + 14 = 230 Perubahan hasil optimum sebelum dan setelah adanya perubahan jumlah bahan baku : = (hasil setelah perubahan) – (hasil sebelum perubahan) = 230 – 190 = (Buktikan !!) 40

THE END