Peubah acak khusus

Peubah Acak Bernoulli Misalkan sebuah percobaan yang outcome-nya dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan gagal. Jika X=1 bila outcome-nya berhasil dan X=0 bila outcome-nya gagal, maka fungsi masa peluang dari X adalah P(0) = P(X=0) = 1-p (2.1) P(1) = P (X=1) = p dimana 0≤p≤1 adalah peluang keberhasilan Peubah acak X dikatakan peubah acak Bernoulli jika fungsi massa peluangnya adalah persamaan (2.1)

Peubah Acak Binomial Misalkan dilakukan n percobaan yang bebas, Masing – masing menghasilkan outcome berhasil dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. Jika X adalah banyaknya keberhasilan yang terjadi dari n percobaan, maka X dikatakan peubah acak Binomial dengan parameter (n,p)

Peubah Acak Binomial Misalkan dilakukan n percobaan yang bebas, Masing – masing menghasilkan outcome berhasil dengan peluang p dan gagal dengan peluang 1-p. Jika X adalah banyaknya keberhasilan yang terjadi dari n percobaan, maka X dikatakan peubah acak Binomial dengan parameter (n,p)

Peubah Acak Binomial Contoh : Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika outcome-nya diasumsikan bebas, temukan fungsi massa peluang dari banyaknya gambar yang muncul. Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan berganda, masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara menebak – nebak saja memperoleh 10 jawaban yang benar?

Peubah Acak Binomial Contoh : Lima koin yang setimbang dilemparkan. Jika outcome-nya diasumsikan bebas, temukan fungsi massa peluang dari banyaknya gambar yang muncul. Suatu ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan berganda, masing – masing dengan 4 kemungkinan jawaban dan hanya satu yang benar. Berapa peluang seorang yang menjawab hanya secara menebak – nebak saja memperoleh 10 jawaban yang benar?

Peubah Acak Kontinu

Peubah Acak X dikatakan peubah acak kontinu bila terdapat fungsi nonnegatif f, yang terdefinisi pada semua bilangan nyata x  (-,), mempunyai sifat bahwa untuk setiap himpunan bilangan nyata B, P(XB) = Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang peubah acak X dan f harus memenuhi P{X  ( -,  )} = =1

Semua statemen peluang tentang X dapat dinyatakan dalam term f Semua statemen peluang tentang X dapat dinyatakan dalam term f. Misalkan B = [a,b]maka P{a X  b}= Jika a = b maka P{X=a} = =0 Untuk peubah acak kontinu P{X < a} = P {X  a} =

2. Peubah Acak Normal Peubah acak X dikatakan peubah acak Normal dengan parameter  dan 2 jika fungsi kepekatan peluang X adalah - < x < 

Fungsi kepekatan peluang adalah kurva berbentuk genta yang simetrik pada . Nilai  dan 2 merepresentasikan nilai rata – rata dan variasi atau keragaman yang mungkin dari X. Beberapa contoh yang mengikuti sebaran normal antara lain tinggi manusia, kecapatan molekul pada gas, dan kesalahan yang dibuat dalam pengukuran kuantitas fisik

Fakta penting dari pebah acak normal adalah jika X menyebar normal dengan parameter  dan 2 maka Y = X +  menyebar normal dengan parameter  +  dan 22. Implikasinya bila X menyebar normal dengan parameter  dan 2 maka Z = (X - )/ menyebar normal dengan parameter 0 dan 1. Peubah acak Z dinamakan peubah acak normal baku

= Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak normal baku dilambangkan dengan (x) dimana (x) = Nilai dari (x) telah ditabelkan

Contoh : 1. Jika X adalah peubah acak normal dengan parameter  = 3 dan 2 = 9. Hitung a. P{2<X<5} b. P{X>0}

2. Suatu ujian dikatakan baik apabila nilai dari hasil ujian dapat didekati dengan fungsi kepekatan peluang normal. Instruktur seringkali menggunakan nilai hasil ujian untuk menduga parameter normal  dan 2 kemudian memberi nilai A untuk nilai yang lebih dari +, B untuk nilai antara  dan +, C untuk nilai antara  -  dan , D untuk nilai antara  - 2 dan  - , dan E untuk nilai di bawah  - 2. Berapa persen yang akan mendapat nilai A, B, C, D dan E.

3. Bila Z adalah peubah acak normal baku, hitunglah P(0 ≤ Z ≤ 1.2) P(-0.9 ≤ Z ≤ 0.1) P(0.35 ≤ Z ≤ 1.66) P(-0.3 ≤ Z ≤ 0.3) 4. Carilah nilai z, bila a. P(Z > z) = 0.5 c. P(Z > z) = 0.90 b. P(Z > z) = 0.8643 d. P(Z > z) = 0.99

5. Misalkan tinggi laki – laki dalam kelas tertentu adalah peubah acak normal dengan parameter  = 7,1 inchi dan 2=6,25. Berapa persen dari laki – laki dalam kelas tersebut yang mempunyai tinggi lebih dari 6,2 inchi? Berapa persen yang lebih dari 6,5 inchi?