Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi Menentukan invers suatu fungsi

Indikator Mendeskripsikan pengertian fungsi dan sifat-sifatnya Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi Menentukan invers dari suatu fungsi

Definisi Fungsi Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B Ditulis f : A B Dibaca “fungsi f memetakan A ke B” A B 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Cara Penyajian Fungsi Dalam Diagram Panah D K F: D K. Ini menyatakan bahwa fungsi f memiliki domain D dan kodomain K. Misalkan f(x) = √x , hanya terdefinisi bila x ≥ 0 dan x € R. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Penyajian Pasangan Berurutan Cara ini efektif hanya jika himpunannya terbatas dan anggotanya “diskrit” Grafik Kartesius y 3 (3,p) 2 (2,q) 1 (1,p) (1,q) p q x

Dalam bentuk aturan- aturan atau dengan kata- kata Misalkan Tambah 1dan (kemudian) kuadratkan Kuadratkan dan (kemudian) tambah 1 Aturan dalam bentuk aturan-aturan atau kata- kata dapat berupa bentuk aljabar Misalkan (x+1)2 atau f(x) = (x+1)2 x2 + 1 atau f(x) = x2 + 1

Dalam bentuk persamaan Misalkan eksplisit, y = 2x + 3 dengan y = f(x) Implisit, 2x-y+3=0

Macam-macam Fungsi Fungsi konstan Fungsi f:x C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap) Contoh : y 3 y=f(x)=3 F(-2)=3 f(5) = 3 -2 5 x Fungsi Identitas Fungsi R R yang didefinisikan sebagai : I : x x disebut fungsi identitas Grafik fungsi identitas y = x adalah garis lurus yang melalui O (0,0) y y = x 3 2 1 O 1 2 3 x

Fungsi Linear Fungsi f: R R yang didefinisikan : f(x) = ax+b, a dan b konstan dengan a ≠ 0 Disebut fungsi linear Fungsi Kuadrat Fungsi f: R R yang didefinisikan : f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c € R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat

Fungsi Turunan Fungsi f : R R adalah suatu fungsi yang diketahui dan f ditentukan oleh : f’(x) = maka f’(x) disebut fungsi turunan

Komposisi Fungsi Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi.

x  A dipetakan oleh f ke y  B ditulis f : x → y atau y = f(x) C z g f x  A dipetakan oleh f ke y  B ditulis f : x → y atau y = f(x) y  B dipetakan oleh g ke z  C ditulis g : y → z atau z = g(y) atau z = g(f(x))

maka fungsi yang memetakan x  A ke z  C B C x z y f g g o f maka fungsi yang memetakan x  A ke z  C adalah komposisi fungsi f dan g ditulis (g o f)(x) = g(f(x))

contoh 1 f : A → B dan g: B → C didefinisikan seperti pada gambar Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b) A B C a b p q 1 2 3 f g

Jawab: (g o f)(a) = ? f(a) = 1 dan g(1) = q C a b p q 1 2 3 f g f(a) = 1 dan g(1) = q Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q

Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p (g o f)(b) = ? A B C a b p q 1 2 3 f g f(b) = 3 dan g(3) = p Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p

Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). contoh 2 Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .

Jawab: g(2x+ p) = f(3x + 120) 3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 g(f(x)) = f(g(x)) g(2x+ p) = f(3x + 120) 3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p 6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p 3p – p = 360 – 120 2p = 240  p = 120

Sifat Komposisi Fungsi Tidak komutatif: f o g ≠ g o f 2. Bersifat assosiatif: f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h 3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x f o I = I o f = f

contoh 1 f : R → R dan g : R → R f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5 Tentukan: a. (g o f)(x) b. (f o g)(x)

Jawab: f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5 (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 + 5 = 2(9x2 – 6x + 1) + 5 = 18x2 – 12x + 2 + 5 = 18x2 – 12x + 7

b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5) = 3(2x2 + 5) – 1 = 6x2 + 15 – 1 f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5 b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5) = 3(2x2 + 5) – 1 = 6x2 + 15 – 1 (f o g)(x) = 6x2 + 14 (g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7 (g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif

contoh 2 f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan h(x) = 1/x Tentukan: a. (f o g) o h b. f o (g o h)

Jawab: f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan h(x) = 1/x ((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x)) (f o g)(x) = (x2 – 1) – 1 = x2 – 2 (f o g(h(x))) = (f o g)(1/x) = (1/x)2 – 2

(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x)) f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan h(x) = 1/x (f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x)) (g o h)(x)= g(1/x) = (1/x)2 – 1 = 1/x2 - 1 f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1) = (1/x2 – 1) – 1 =(1/x)2 – 2

I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 contoh 3 I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 Tentukan: (f o I)(x) dan (g o I) (I o f) dan (I o g)

I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 Jawab: I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1 (f o I)(x) = x2 (g o I)(x) = x + 1 (I o f)(x) = x2 (I o g)(x) = x + 1 (I o f)(x) = (f o I) = f

Fungsi Yang Lain Diketahui Menentukan Suatu Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Fungsi Yang Lain Diketahui

Contoh 1 Diketahui f(x) = 3x – 1 dan (f o g)(x) = x2 + 5 Tentukan g(x).

Jawab f(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5 fg(x)] = x2 + 5 3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6 Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)

contoh 2 Diketahui g(x) = x + 9 dan (f o g)(x) = ⅓x2 – 6 maka f(x) = … .

Jawab: g(x) = x + 9 (f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2 – 6 f(x + 9) = ⅓x2 – 6 Misal: x + 9 = y  x = y – 9 f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6

f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6 = ⅓(y2 – 18y + 81) – 6 = ⅓y2 – 6y + 27 – 6 Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21

contoh 3 Diketahui f(x) = x – 3 dan (g of)(x) = x2 + 6x + 9 maka g(x – 1) = … .

(g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9 Jawab: f(x) = x – 3; (g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9 g(x – 3) = x2 + 6x + 9 Misal: x – 3 = y  x = y + 3 g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9 = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9

g(y) = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9 = y2 + 12y + 36 g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36 = x2 – 2x + 1 + 12x – 12 + 36 = x2 + 10x + 25 Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25

Contoh 4 Diketahui f(x) = 2x + 1 dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1 Nilai g(-2) =….

f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1 Jawaban: f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1 f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1 f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1 2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 1 2g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2 g(x + 1) = -x2 – 2x – 1

g(x + 1) = -x2 – 2x – 1 g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1 g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1 = -1 – 2 – 1 = -4 Jadi g(2) = - 4

Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi Menentukan invers suatu fungsi

Fungsi invers

ket : f : y = f(x) cara mencari fungsi invers f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y TEOREMA f : A ® B dan f-1 : B ® A f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A    f    f-1            A ® B ® A   (f-1 o f) f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B   f-1   f B ® A ® B  (f o f-1)

Misal fungsi f : A B maka invers fungsi f dinyatakan dengan Jika y = f (x) maka Contoh : Tentukan invers fungsi a. f (x) = 2 x + 6 misalnya : y = 2x +6 2x = y-6

Cara lain :

Rumus Fungsi (gof)’(x) dan (fog)’ (x)

Contoh Diketahui : f(x) = x – 1 g(x) = 1/x x tidak sama dengan nol Ditanyakan : a.) rumus fungsi (gof)’(x) dan (fog) (x) b.) daerah asal fungsi (gof)’(x) dan (fog)’(x) SOLUSI a.) (gof)(x) = g (f(x)) (gof)’ (y) = y +1/ y = g (x-1) (g0f)’(x) = x +1/ x = 1/x-1 (gof)(x) = y 1/ x-1 = y xy – y = 1 xy = y + 1 x = y +1/ y

(fog)(x) = f(g(x)) Hasil Akhir = f(1/x) = (1/x) – 1 (gof)’(x) = (x + 1)/x (fog)(x) = (1-x)/x (fog)’(x) = 1/(x+ 1) (fog)(x) = y (1-x)/x = y xy = 1 - x xy + x = 1 x(y +1) = 1 x = 1/(y +1) (fog)’(y) = 1/(y + 1) (fog)’(x) = 1/(x+1)

Terimakasih atas perhatiannya Wassalamualaikum wr. wb.