MANAJEMEN SAINS Penyelesaian Persoalan Program Linier dengan Pembatas Bertanda  dan atau =

Dalam Pembicaraan mengenai metoda simpleks, kita telah menggunakan variabel slack sebagai penyelesaian basis awal, sedemikian sehingga masing-masing penyelesaiannya masing-masing variabel slack merupakan ruas kanan yang berharga positif pada masing-masing persamaan

Sekarang perhatikan untuk kasus yang pembatasnya pembatasnya tidak lagi bertanda (), tetapi bertanda (=) atau (). Untuk kasus yang persamaan pembatasnya bertanda (=), daerah fisibelnya hanya berupa segmen garis sehingga kita tidak dapat memperoleh penyelesaian fisibel basis awal karena tidak ada variabel slack yang dapat digunakan sebagi variabel basis awal. Demikian juga untuk kasus dengan persamaan pembatas bertanda (), kita tidak akan memiliki penyelesaian fisibel basis awal karena ruas kanannya bernilai negatif. Contoh 3x1 + 2x2  18, adalah sama dengan –3x1 –2x2  -18. Dengan menambahkan variabel slack menjadi –3x1 – 2x2 + S1 = -18, S1 tidak dapat menjadi variabel basis awal karena harganya negatif.

Untuk menyelesaikan kedua kasus tersebut, kita memerlukan adanya variabel dummy (variabel palsu) yang disebut variabel artifisial, sehingga variabel basis awal tetap ada. Sebagai ilustrasi, kita lihat contoh berikut : Contoh 1 : Maksimumkan : z = 3x1 + 5x2 Dengan Pembatas : x1  4 2x2  12 3x1 + 2x2 = 18 x1 , x2  0 Bentuk diatas diubah menjadi : z - 3x1 - 5x2 = 0 x1 + S1 = 4 2x2 + S2 = 12 3x1 + 2x2 + R3 = 18 x1, x2, x3, S1, S2, R3  0

Bentuk diatas diubah menjadi : z - 3x1 - 5x2 = 0 x1 - S1 + R1 = 4 Contoh 2 : Minimumkan : z = 3x1 + 5x2 Berdasrkan pembatas : x1  4 2x2  12 3x1 + 2x2 = 18 x1 , x2  0 Bentuk diatas diubah menjadi : z - 3x1 - 5x2 = 0 x1 - S1 + R1 = 4 2x2 - S2 + R2 = 12 3x1 + 2x2 + R3 = 18 x1, x2, x3, S1, S2, R1 , R2, R3  0  

Pada akhirnya, iterasi-iterasi metoda simpleka akan secara otomatis menjadikan variabel artvisial ini tidak muncul lagi ( berharga nol), yaitu apabila persoalan semula telah terselesaiakan (tercapai optimum). Dengan kata lain, kita gunakan variabel artfisial ini hanya untuk memulai penyelesaian, dan harus menhilangkannya (menjadikanya bernial nol) pada akhir penyelesaian. Jika tidak demikian maka penyelesaian yang diperoleh akan tidak fisibel. Untuk itu, maka harus diberikan penalty M (M bilangan positif yang sangat besar) pada setiap variabel artifisial dalam fungsi tujuannya

Dari contoh diatas, fungsi tujuannya menjadi : Memaksimumkan z = 3x1 + 5x2 – MR3 Atau z - 3x1 - 5x2 + MR3 = 0 Dari contoh 2 : Meminimumkan z = 3x1 + 5x2 + MR1 + MR2 + MR3 Atau z - 3x1 - 5x2 - MR1 - MR2 - MR3 = 0 Perhatikan bahwa untuk kasus memaksimumkan Penalty diatas bertanda negatif (-), sedangkan untuk kasus meminimumkan penalty bertanda positif (+).

Teknik M (metoda pynalty) Perhatikan persoalan dibawah ini : Maksimumkan : z = 3x1 + 5x2 Terhadap pembatas : x1  4 2x2  12 3x1 + 2x2 = 18 x1,x2  0

Karena pembatas ketiga bertanda (=), maka untuk mendapatkan penyelesaian basis awal harus ditambahkan variabel artifisial sehingga diperoleh bentuk : Maksimumkan : z = 3x1 + 5x2 - MR3 Berdasrkan pembatas : x1 + S1 = 4 2x2 + S2 = 12 3x1 + 2x2 + R3 = 18 x1, x2, S1, S2, R3  0

Untuk memasukkan model diatas ke dalm bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R3 dengan cara : R3 = 18 – 3x1 –2x2 Kemudian dimasukkan kedalam fungsi tujuan z sebagai berikut : z = 3x1 + 5x2 - M(18 – 3x1 –2x2) atau z = (3M+3)x1 + (2M+5)x2 – 18M z - (3M+3)x1 - (2M+5)x2 = -18M Hal ini dilakukan dengan maksud agar dalam pembuatan tabel awal simplek, R3 sudah secara otomatis “dipaksa” berharga nol. Selanjutnya dilakukan penyelesaian dengan langkah-langkah iterasi metoda simpleks.

Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut : Minimasi : Z = 7x1 + 8 x2 Dengan pembatas : x1 + x2 ≥ 1000 x1 + 3x2 ≥ 1800 5x1 + x2 ≥ 2000 x1 ,x2 ≥ 0