Pertemuan 3 2010 bilqis

Cara membuktikan Sub-bab 1.5 bilqis

Terminologi: Teorema: pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya Ex : Bumi adalah bulat Argumen: rangkaian pernyataan yang membentuk bukti Aksioma: pernyataan yang digunakan dalam suatu bukti, yang kebenarannya bisa diasumsikan, diketahui, atau telah dibuktikan sebelumnya Aturan penentuan kesimpulan (rule of inference): cara menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya Lemma: teorema sederhana yang digunakan dalam membuktikan teorema lain bilqis

Terminologi: Corollary: proposisi yang merupakan akibat langsung dari teorema yang dibuktikan Ex : jika 3 sisi pada segitiga mempunyai panjang yang sama, maka segitiga itu juga mempunyai sudur yang sama Conjecture: pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui bilqis

Aturan penentuan kesimpulan: Addition : (p)  (p v q) Simplification : (p  q)  (p) Conjunction : ((p)  (q))  (p  q) Modus ponens : (p  (p  q))  (q) Modus tollens : (q  (p  q ))  (p) Hypothetical syllogism : ((p  q)  (q  r ))  (p  r) Disjunctive syllogism : ((p v q)  (p))  (q) Resolution : ((p v q)  (p v r))  (q v r) bilqis

Simplification : (p  q)  (p) Contoh: Addition : (p)  (p v q) Hari ini Jumat Hari ini Jumat atau kita sedang belajar Simplification : (p  q)  (p) Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon Conjunction : ((p)  (q))  (p  q) Tadi pagi Ayah menelepon P -------- P v q P ^ q -------- P P q -------- P ^ q bilqis

Modus ponens: (p  (p  q))  (q) Saya haus Jika saya haus, maka saya minum air Saya minum air Modus tollens: (q  (p  q ))  (p) Saya tidak minum air Saya tidak haus P P  q -------- q P  q ~ q -------- ~ P bilqis

Hypothetical syllogism: ((p  q)  (q  r ))  (p  r) Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Jika saya akan pergi, maka saya harus mengambil uang Jika hari ini cerah, maka saya harus mengambil uang Disjunctive syllogism: ((p v q)  (p))  (q) Kemarin hari Selasa atau besok hari Senin Kemarin hari Kamis Besok hari Senin P  q Q  r -------- P  r P v q ~ p -------- q bilqis

Resolution / Resolusi : ((p v q)  (p v r))  (q v r) q v r disebut resolvent P v q ~ p v r -------- Q v r bilqis

Dari Bab 1  ekivalen Kontrapositif  P  q ekivalen dengan ~ p v q P  q ekivalen dengan ~ q  ~ p P  q ekivalen dengan ~ p v q bilqis

Kesalahan menentukan kesimpulan (fallacies) Fallacy of confirming the conclusion: Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Saya akan pergi Hari ini cerah Fallacy of denying the hypothesis: Jika besok hari Sabtu, maka saya akan pulang Besok hari Kamis Saya tidak jadi pulang P  q q -------- P P  q ~ p -------- ~ q Kesimpulan salah, karena  tidak ada dalam aturan yang 8 bilqis

If Randy works hard, then he is a dull boy Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 Construct an argument using rules of inference to show that the hypothesis Randy works hard If Randy works hard, then he is a dull boy If Randy is a dull boy, then he will not get the job imply the conclusion Randy will not get the job bilqis

Conclusion: Randy will not get the job Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 r: Randy works hard d: Randy is a dull boy j: Randy will not get the job Randy works hard r (1) If Randy works hard, then he is a dull boy r  d (1) If Randy is a dull boy, then he will not get the job d  j (1) Conclusion: Randy will not get the job Argumen: r (1) r  d (1) maka d harus (1) d  j (1) d (1) maka j harus (1) pengambilan kesimpulan (konklusi) benar bilqis

bilqis

bilqis

bilqis

Aturan penentuan kesimpulan untuk quantified statements Universal instantiation Universal generalization Existential instantiation Existential generalization bilqis

bilqis

Contoh bilqis

Universal instantiation diketahui : x P(x) untuk domain D buktikan : P(c) di mana c  D contoh : x P(x) ; D = { mahasiswa di kelas ini } semua mahasiswa di kelas ini belajar MD c = Bayu  D P(c) : Bayu belajar MD bilqis

(ROI) for Quantifier 1. Universal instantion Misal : Domain X = wanita  sebagai domain P(x) = x is wise C  salah satu wanita  Semua wanita adalah wise  C adalah wise dengan syarat c E D P(lisa)  lisa adalah wise dengan syarat lisa E D c bilqis

Universal generalization diketahui : P(c) di mana c  D = Domain = { …., –5, –3, –1 } buktikan : x P(x) contoh: P(c) = c integer negatif  c3 integer negatif D = Domain = { …., –3, –2, –1 } c = –n di mana n = 1, 2, 3, …. c3 = (–n )*(–n )*(–n ) = –n3 x P(x) : jika x integer negatif, maka x3 integer negatif terbukti bilqis

2. Universal generalization Misal : P(lisa)  lisa adalah wise P(ili)  ili adalah wise bilqis

Existential instantiation diketahui : x P(x) buktikan : P(c) contoh : x P(x) = ada bilangan prima gasal P(c) = 5 bilangan prima gasal bilqis

3. Existential Instantiation  min ada 1 wanita yang wise  lisa adalah wanita yang wise bilqis

Existential generalization diketahui : P(c) buktikan : x P(x) contoh : P(c) = 5 bilangan prima gasal x P(x) = ada bilangan prima gasal bilqis

4. Existential Generalization bilqis

Membuktikan teorema berbentuk p  q Bukti langsung (direct proof) Bukti tidak langsung (indirect proof) Bukti hampa (vacuous proof) Bukti mudah (trivial proof) bilqis

Method of Profing Theorem 1. Direct Proof Untuk p q : Asumsi P adalah benar Buktikan bahwa q juga benar, misal dengan ROI Ex : bilqis

Bukti langsung (direct proof) Teorema: “Jika n integer gasal, maka n2 integer gasal” Bukti: n = 2k + 1 integer gasal; k sembarang integer n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) + 1 (n2 integer gasal) n integer gasal  n2 integer gasal (terbukti) bilqis

2. Indirect Proof P  q equivalen dengan contrapositif ~q  ~p Ex : Asumsikan ~q adalah benar Maka buktikan ~p juga benar Ex : bilqis

Bukti tidak langsung (indirect proof) Teorema: “jika 3n + 2 gasal, maka n gasal” Ekivalen dengan “jika n genap, maka 3n + 2 genap” Bukti: n = 2k; k sembarang integer 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2 (3k) + 2 = 2 (3k +1) jika n genap, maka 3n + 2 genap jika 3n + 2 gasal, maka n gasal (terbukti) bilqis

Voucous Proof : Jika nilai var diket Jika kita bisa membuktikan bahwa P salah, krn Jika P salah maka tidak peduli Q benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis

Bukti hampa (vacuous proof): Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila p bernilai FALSE Contoh: “jika n > 1 maka n2 > n, untuk n = 0” p : 0 > 1 (FALSE) q : 02 > 0 (FALSE) p  q TRUE maka “teorema” terbukti bilqis

4. Trivial Proof Jika nilai var diket Jika kita bisa membuktikan bahwa q benar, krn Jika q benar, maka tidak peduli apakah P benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis

Bukti mudah (trivial proof) Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila q bernilai TRUE Contoh: “jika a b maka an bn, untuk n = 0” p : a b q : a0 b0 (TRUE) maka “teorema” terbukti bilqis

Bukti per kasus (proof by cases) Teorema: |xy| = |x| |y| untuk semua bilangan nyata Bukti: x y |xy| |x| |y| 1 >= 0 xy 2 < 0 -(xy) x(-y) 3 (-x)y 4 (-x)(-y) bilqis

Bukti teorema berbentuk ekivalensi “p q” Buktikan p  q Buktikan q  p Bukti teorema berbentuk “p, q, r, s ekivalen” Buktikan q  r Buktikan r  s Buktikan s  p bilqis

Cara-cara pembuktian lain: Existence Proof Constructive Non Constructive 2. Proof by Counter Examples bilqis

Constructive Proof Teorema: “ada sebuah integer yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari pangkat-tiga dua integer positif, dalam dua cara berbeda” Bukti: dengan trial-and error didapatkan 1729 = 103 + 93 dan 1729 = 123 + 13 bilqis

Non Constructive Proof Teorema: “Ada dua bilangan irasional x dan y yang menghasilkan xy rasional” Bukti: ( x = 2 dan y = 2 ) maka 2 = 2 rasional sehingga teorema terbukti 2 2 bilqis

Proof by Counter Examples Teorema: “tiap integer positif merupakan jumlah dari kuadrat tiga integer” adalah pernyataan yang salah Bukti: usahakan menemukan satu contoh yang meng-counter pernyataan di atas 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 0 = 02 + 02 + 02 3 = 12 + 12 + 12 6 = 22 + 12 + 12 1 = 12 + 02 + 02 4 = 22 + 02 + 02 7 = ? 2 = 12 + 12 + 02 5 = 22 + 12 + 02 7 tidak dapat dibentuk dari jumlah kuadrat tiga integer ( 7 disebut counter example ) terbukti pernyataan di atas salah (false) bilqis

PR (kerjakan 5 saja) Bilqis : 1.5  1, 5, 7, 9, 13, 23 bilqis