Sistem Persamaan Diferensial Sistem PD

Sistem Order Pertama (Linier) Bentuk: Dikatakan sebagai sistem persamaan diferensial orde pertama Jika f1, f2, …, fn = 0, maka dikatakan sistem homogen, sebaliknya sistem nonhomogen Sistem PD

Metode Eliminasi Metode eliminasi untuk sistem PD linier, similar dengan metode eliminasi pada sistem persamaan linier, yaitu dengan mengeliminasi sehingga menyisakan sebuah variabel Sistem PD

Metode Eliminasi Contoh: Selesaikan sistem PD linier berikut: lanjut

Metode Eliminasi lanjut Solusi: PD Linier Homogen Orde dua Sistem PD

Soal Latihan: Tentukan solusi dari sistem PD berikut: . lanjut

Operator Linier Sebuah operator diferensial linier orde n dengn koefisien konstan dinyatakan sebagai: Dengan D menyatakan diferensiasi dengan variabel bebas t Sistem PD

Operator Linier lanjut Jika L1 dan L2 dua buah operator linier maka berlaku sifat: L1L2[x] = L2L1[x] Mis: Sistem PD

Operator Linier lanjut Akan diperoleh: atau: Sistem PD

Operator Linier Contoh: Selesaikan sistem PD linier berikut: lanjut

Operator Linier lanjut Solusi: PD Linier Homogen Orde dua Sistem PD

Soal Latihan: Tentukan solusi dari sistem PD berikut: . lanjut

Metode Eigenvalue Pandang: Misal x1 , x2 , …, xn solusi dari sistem PD maka: x(t) = c1x1 (t)+c2 x2 (t)+ …+cn xn(t) Adalah solusi dari sistem PD tersebut Sistem PD

Metode Eigenvalue Solusi x dapat ditulis dalam bentuk matriks: lanjut Solusi x dapat ditulis dalam bentuk matriks: Dimana λ, v1, v2, …, vn adalah konstanta skalar Sistem PD

Metode Eigenvalue lanjut Untuk mendapatkan solusi tersebut pandang bentuk persamaan sistem PD awal sebagai sebuah bentuk matriks: Dimana A = [aij] Sistem PD

Contoh lanjut Selesaikan sistem PD berikut: Jawab: Sistem PD

Contoh Sebuah sistem yang terdiri dari dua buah pegas dan dua buah benda dan diberikan sebuah gaya eksternal f(t) pada benda m2. x(t) menyatakan pergerakan benda m1 dari posisi diam (f(t) = 0) dan y(t) menyatakan pergerakan benda m2 dari posisi diam Sistem PD

Pegas pertama meregang sejauh x unit sedangkan pegas kedua meregang sejauh y – x unit Maka berdasarkan Newton law of motion diperoleh sistem sebagai berikut: Sistem PD

Dari Contoh Kasus sebelumnya, Misalkan: Maka: m1 = 2, m2 = 1, k1 = 4, k2 = 2 dan f(t) = 40 sin 3t Maka: Atau: Yang merupakan sistem persamaan diferensial orde dua Sistem PD

Penyelesaian metode eliminasi: Definisikan: Sehingga: x1 = x, x2 = x’ = x’1, y1 = y, y2 = y’ =y’1 Sehingga: Yang merupakan sistem PD dengan empat variabel tak bebas Sistem PD

Penyelesaian dengan metode operator linier: Misalkan tidak terdapat gaya eksternal pada kedua pegas tersebut, maka tuliskan sistem PD sebelumnya sebagai: Atau: Sistem PD

Sehingga: Maka: Sistem PD

Akar karakteristik: Maka akar-akarnya: Solusi umumnya: i, -i, 2i dan -2i Solusi umumnya: Sistem PD

Penyelesaian dengan metode eigenvalue: Pandang sistem sebagai sebuah bentuk persamaan matriks Dimana: Sistem PD

Berdasarkan problem sebelumnya: Persamaan matriks m1 = 2, m2 = 1, k1 = 100, k2 = 50 dan f(t) = 0 Persamaan matriks Sistem PD

Jadi: Eigenvalue 1 = -25 2 = -100 Sistem PD