Medan Vektor

Kalkulus Vektor Vector calculus (or vector analysis) is a branch of mathematics concerned with differentiation and integration of vector fields, primarily in 3 dimensional Euclidean space R3 Vector calculus plays an important role in differential geometry and in the study of partial differential equations. It is used extensively in physics and engineering, especially in the description of electromagnetic fields, gravitational fields, and fluid flow. Vector calculus was developed by J. Willard Gibbs and Oliver Heaviside near the end of the 19th century, and most of the notation and terminology was established by Gibbs and Edwin Bidwell Wilson in their 1901 book, Vector Analysis

Medan Vektor Konsep fungsi yang sudah dipelajari : Fungsi bernilai riil dari satu peubah riil Fungsi bernilai vektor dari satu peubah riil Fungsi bernilai riil dari beberapa peubah riil Selanjutnya akan dipelajari konsep fungsi bernilai vektor dari beberapa peubah riil. Fungsi tersebut dinamakan medan vektor. Contoh:

Medan Vektor Contoh: Buatlah sketsa sebuah medan vektor berikut ini : 1. 2.

Jawab :

Medan Skalar Berlawanan dengan medan vektor, medan skalar adalah suatu fungsi F yang mengaitkan sebuah bilangan pada setiap titik dalam ruang.

Gradien Medan Skalar Misalkan f(x,y,z) suatu medan skalar dan f dapat didifferensialkan, maka gradien f ( ) adalah medan vektor yang diberikan oleh : Medan vektor ini disebut medan vektor konservatif, sedangkan f disebut fungsi potensialnya. Note : merupakan operator dimana Ketika beroperasi pada sebuah fungsi f, operator tersebut menghasilkan gradien , dapat ditulis juga sebagai grad f

Divergensi dan Curl dari Medan Vektor berhubungan dengan 2 medan penting lainnya, yaitu divergensi (div) yang merupakan medan skalar, dan curl yang merupakan medan vektor. Definisi: Misalkan adalah medan vektor dan ada, maka :

Bentuk lain div F dan curl F 1. 2.

Makna div dan curl Jika F melambangkan medan kecepatan dari suatu fluida, maka div F di titik p mengukur kecendrungan fluida tersebut untuk menyebar meninggalkan p (div F > 0) atau mengumpul menuju p (div F < 0) Curl F menyatakan arah sumbu dimana fluida tersebut berotasi (melingkar) paling cepat dan |curl F| mengukur laju rotasi ini. Arah rotasi ini mengikuti aturan tangan kanan

Latihan Gambarkan medan vektor untuk a. b. c. Tentukan div F dan curl F dari a. F(x,y,z)= ex cos y i +ex sin y j +z k b. F(x,y,z)= x2e-z i + y3 ln x j + z cos y k 3. Misalkan f adalah sebuah medan skalar dan F adalah medan vektor. Tentukan mana yang medan skalar, medan vektor atau tidak berarti apa-apa a. div f f. curl (grad f) b. grad f g. grad (div F) c. curl F h. curl (curl F) d. div (grad f) i. grad (grad f) e. div (div F) j. div (curl(grad f))

Latihan Tunjukkan bahwa: a. div (curl F) = 0 b. div (fg) = f div (g) + g div (f) + 2 (f) . (g) c. div (f x g) = 0 d. curl (grad f) = 0 e. div (f F) = f (div F) + (grad f) . F f. curl (f F) = f (curl F) + (grad f) x F g. div (F x G) = G . curl F – F . curl G 5. Fungsi skalar div (grad f) =  . f (juga ditulis 2f ) disebut Laplacian. Tunjukkan bahwa 2f = fxx + fyy + fzz