METODA SIMPLEKS Prof. Dr. M. Syamsul Maarif 1. MASALAH PRODUKSI: m bahan mentah (BM)i = 1, 2, 3, …………, m n produk jadi (PJ)j = 1, 2, 3, ……….., n a ij = ΣBM i yang dibutuhkan untuk memproduksi 1 unit P j b i = ΣBM i yang tersedia C j = keuntungan per unit produk j X j = Σ P j yang akan diproduksi PERTANYAAN : perencanaan produksi optimal ? Formulasi : MaksimumkanZ = C 1 X 1 +C 2 X 2 + ………… +C n X n Kendalaa 11 X 1 +a 12 X 2 + …..+a 1n X n < b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 + …..+a 2n X n < b 2. a m1 X 1 +a m2 X 2 +…..+a mn X n < b n X 1 >0, X 2 >0, ……., X n >0

2. MASALAH DIET: m nutrisi (N)i = 1, 2, 3, …………, m n makanan (M)j = 1, 2, 3, ……….., n a ij = ΣN i yang dibutuhkan untuk memproduksi 1 unit M j b i = kebutuhan N i per hari C j = harga per unit produk Mj X j = Σ M j dalam diet PERTANYAAN : makanan yang harus dikonsumsi per hari ? Formulasi : MinimumkanZ = C 1 X 1 +C 2 X 2 + ………… +C n X n Kendalaa 11 X 1 +a 12 X 2 + …..+a 1n X n > b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 + …..+a 2n X n > b 2. a m1 X 1 +a m2 X 2 +…..+a mn X n > b n X 1 >0, X 2 >0, ……., X n >0

BENTUK LP MinZ = Σ C j X j Kendala Σ a ij X 1 = b i, i = 1, 2,.., m X j >0, j = 1, 2,.., n MaksZ = Σ C j X j Kendala Σ a ij X 1 = b i, i = 1, 2,.., m X j >0, j = 1, 2,.., n MinZ = Σ C j X j Kendala Σ a ij X 1 > b i, i = 1, 2,.., m X j >0, j = 1, 2,.., n MaksZ = Σ C j X j Kendala Σ a ij X 1 < b i, i = 1, 2,.., m X j >0, j = 1, 2,.., n minimisasimaksimisasi Bentuk standar Bentuk kanonik

Transformasi persoalan: Maks (CX)= - Min (CX) Min (CX)= - Maks (CX) Contoh: Maksimumkan2X 1 + X 2 KendalaX 1 + 8/3 X 2 < 4 X 1 + X 2 < 2 2X 1 < 3 X 1, X 2 > 0 Bentuk kanonik Minimumkan - 2X 1 – X 2 Kendala (tetap)

MinimumkanZ = - 2X 1 - X 2 KendalaX 1 + 8/3 X 2 + X3 = 4 X 1 + X 2 + X4 = 2 2X 1 + X5 = 3 X 1, X 2 > 0 Bentuk standar Variabel slack Tabel Simpleks ZX1X1 RKX2X2 X3X3 X4X4 X5X5 Z X3X3 X4X4 X5X / Positif terkecil Positif terbesar (4/1) (2/1) (3/2) Check optimal ? Semua elemen < 0 Titik pivot Iterasi 1

Tabel iterasi 1 dapat diformulasikan : Z = 0 - 2X 1 - X 2 X 3 = 4 - X 1 - 8/3 X 2 X 4 = 2 - X 1 - X 2 X 5 = 3 - 2X 1 Naikkan X 1 atau X 2 agar Z turun Pilih X 1 Berdasarkan tabel iterasi 1, operasi pivot untuk menghasilkan Tabel simpleks berikutnya: Baris 0 = baris 0 – (2/2) x baris 3 Baris 1 = baris 1 – (1/2) x baris 3 Baris 2 = baris 2 – (1/2) x baris 3 Baris 3 = (baris 3)/2 X 5 diganti X 1

Tabel Simpleks ZX1X1 RKX2X2 X3X3 X4X4 X5X5 Z X3X3 X4X4 X1X /2 1 8/3 -1/ /2 3/2 Positif terkecil Positif terbesar (15/16) (1/2) Check optimal ? Semua elemen < 0 Titik pivot Iterasi 2 -1/2 1/2 X 4 diganti X 2

Tabel Simpleks ZX1X1 RKX2X2 X3X3 X4X4 X5X5 Z X3X3 X2X2 X1X /2-7/ / /6-8/ /2 3/2 Check optimal ? Semua elemen < 0 Iterasi 3 -1/2 1/2 optimal Z = -7/2 X 1 = 3/2 X 2 = 1/2 Nilai maks = - (-7/2) = 7/2 X 3 = 7/6 X 4 = 0 X 5 = 0

Latihan: Maksimumkan2X 1 - 4X 2 + 5X 3 – 6X 4 KendalaX 1 + 4X 2 – 2X 3 + 8X 4 < 2 -X 1 + 2X 2 + 3X 3 +4X 4 < 1 X 1, X 2, X 3, X 4 > 0 1. KendalaX 1 + 7X 2 + 3X 3 + 7X 4 < 46 3X 1 - X 2 + X 3 + 2X 4 < 8 2X 1 + 3X 2 - X 3 + X 4 < 10 X 1, X 2, X 3, X 4 > 0 2. a. Maksimumkan2X 1 + X 2 - 3X 3 + 5X 4 b. Minimumkan2X 1 - 6X 2 - 3X 3 + 2X 4 c. Maksimumkan3X 1 - X 2 + 3X 3 + 4X 4 d. Minimumkan-5X 1 + 4X 2 - 6X 3 - 8X 4 e. Maksimumkan3X 1 + 6X 2 - 2X 3 + 4X 4 Selesaikan persoalan tersebut, bila tujuannya: