Hasil Kali Langsung

Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan di samping itu sering juga diharapkan dapat memfaktorkan grup yang besar sebagai perkalian grup-grup yang kecil dan sederhana. Definisi X.1 : Misalkan G dan H grup. Hasil kali langsung G  H adalah sistem aljabar yang didefinisikan dengan himpunan G  H = { (g,h) | g  G dan h  H } dan operasi * didefinisikan sebagai (a,b) * (c,d) = (a*c , b*d).

Himpunan G  H dinamakan hasil kali Cartesian dari himpunan G dan H yang terdiri dari pasangan berurutan (g,h). Dalam hal ini, G dan H dinamakan faktor dari G  H. Bidang Cartesian R2 ={ (x,y) | x, y dalam R } merupakan salah satu contohnya dan dalam hal ini R2 = R  R. Teorema X.1 Jika G dan H grup maka G  H grup.

Contoh X.1 Akan ditentukan sifat-sifat dari grup Z2  Z4. Dengan menggunakan prinsip pergandaan maka grup Z2  Z4 mempunyai orde 8. Abelian? Karena (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) dan (c,d) + (a,b) = (c+a,d+b) dan dengan mengingat Z2 dan Z4 abelian maka Z2  Z4 juga abelian. Orde dari anggota Untuk sebarang anggota Z2  Z4 mempunyai sifat k. (a,b) = (k . a, k . b) dengan k dalam Z khususnya 4. (a,b) = (4 . a, 4 . b) = (0, 0). Oleh karena itu orde dari (a,b) merupakan pembagi 4. Anggota (0, 0), (1, 2) dan (1, 1) berturut-turut mempunyai orde 1, 2, dan 4. Siklik? Karena grup mempunyai orde 8 dan tidak ada anggota Z2  Z4 yang mempunyai orde lebih dari 4 maka Z2  Z4 tidak siklik. ■

Contoh X.2 Akan ditentukan sifat-sifat dari grup Z2  Z2  Z2  Z2. Order dari grup Z2  Z2  Z2  Z2 adalah 2 . 2 . 2 . 2 = 16. Grup ini merupakan grup abelian karena Z2 abelian. Order dari setiap elemen 1 atau 2 sebagai contoh (1, 0, 1, 1) mempunyai order 2. Tidak ada elemen yang mempunyai order 16. Hal itu berarti Z2  Z2  Z2  Z2 bukan grup siklik.

Contoh X.3 Akan ditentukan sifat-sifat dari grup R*  R*. Terdapat banyak cara untuk memilih (a,b) sehingga ordernya berhingga. Elemen a, b dalam R* dapat mempunyai order 1, 2 atau . Jika mempunyai order berhingga maka (a,b) mempunyai order 1 atau 2 sedangkan jika salah satu dari a atau b mempunyai order  maka (a,b) mempunyai order . Hal itu berarti elemen-elemen dalam R*  R* mempunyai order 1, 2 atau .

Perlu dicatat bahwa R. dan R.  R Perlu dicatat bahwa R* dan R*  R* keduanya mempunyai order, keduanya abelian, keduanya tidak siklik, elemen-elemennya dapat mencapai order 1, 2 atau . Namun demikian, keduanya tidak isomorfis karena dalam R* hanya -1 yang mempunyai order 2 sedangkan dalam R*  R* ada 3 elemen yang mempunyai order 2 yaitu (-1,1), (1, -1) dan (-1,-1).

Definisi X.1 Misalkan G1, G2, …., Gk grup. Hasil kali langsung G1  G2  ….  Gk adalah sistem aljabar yang didefinisikan dengan himpunan { (g1, g2, … , gk) ‌ | gj Gj untuk setiap j } dan operasi * didefinisikan dengan (g1, g2, … , gk) * (h1, h2, … , hk) = (g1 * h1, g2 * h2 … , gk * hk ). Teorema X.2 Jika G1, G2, …., Gk grup maka G1  G2  ….  Gk grup.

Berikut ini diberikan sifat-sifat tanpa bukti Jika setiap faktor G mempunyai orde berhingga maka orde dari G1  G2  ….  Gk sama dengan | G1 | G2 | … | Gk|. G1  G2  ….  Gk abelian jika dan hanya jika Gj abelian.

Latihan Jika G dan H sebarang grup maka buktikan bahwa G  H isomorfis dengan H  G . Jika G sebarang grup dan { e } grup dengan satu anggota maka G  G  { e }. Jika f : G  H  G dengan f(x,y) = x maka buktikan f homomorfisma. Misalkan G mengandung grup bagian sejati H dan K sehingga G  H  K. Dengan memperhatikan syarat apa yang harus dipenuhi untuk H dan K, tunjukkan bahwa fungsi P : G  K yang didefinisikan dengan baik dan homomorfisma.

Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari Z3  Z4. Buktikan bahwa Z8*  Z2  Z2. Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari R  R  R. Diketahui (a1, a2, …., ak)  G1  G2  …  Gk. Buktikan dengan induksi bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif m berlaku : (a1, a2, …., ak)m = (a1m, a2m, …., akm) . Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari R  Z2.