LIMIT FUNGSI. SEMESTER 2 KELAS XI IPA Tujuan: 1 LIMIT FUNGSI SEMESTER 2 KELAS XI IPA Tujuan: 1. Siswa dapat menjelaskan arti limit fungsi di satu titik dan tak hingga. 2. siswa dapat menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dan tak hingga. 3. siswa dapat menghitung limit fungsi trigonometri di satu titik. 4. siswa dapat menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit. 5. siswa dapat menjelaskan arti bentuk taktentu dari limit fungsi.

Limit Fungsi 1. Konsep dan sifat limit fungsi Selang Selang atau interval adalah suatu himpunan bagian dari bilangan real yang memenuhi suatu sifat urutan tertentu. • selang (a, b) yang tidak memuat semua titik ujungnya, dinamakan selang terbuka. • selang [a, b] yang memuat seua titik ujungnya, dinamakan selanag tertutup. • pada selang tak hingga, (a, ), (-,b) dan (-,) adalah selang terbuka, sedangkan [a,) dan (-,b] adalah selang tertutup.

contoh: tentukandaerah asal dan daerah nilai fungsi f(x)= 1+√(3-x) jawab: agar f(x) є r, syaratnya adalah 3x ≥0, yang memberikan x ≤ 3. daerah asal fungsi f adalah {x: x ≤ 3},yang dalam bentuk selang ditulis sebagai Df = (-,3]. Untuk menentukan daerah nilainya, karena √(3-x) ≥ 0 x є Df , maka y = f(x)= 1 + √(3-x) ≥ 1 x є Df. Akibatnya daerah nilai fungsi f adalah {y: y ≥ 1}, yang dalam bentuk selang ditulis sebagai Rf = [1,) y 3 y = 1+√(3-x) 2 1 x -3 -2 -1 1 2 3 Kurva y = 1 + √(3-x)

Limit fungsi lambang lim f(x) = l atau xc f(x)l, menyatakan bahwa nilai fungsi f(x) mendekati nilai tunggal l jika x mendekati c, tetapi x ≠c. Rancangan definisi formal dari konsep informal xc f(x)l, perhatikan pernyataan berikut: • f(x) mendekati l jika x mendekati c tetapi x ≠c. •jarak f(x)ke l dapat dibuat sebarang kecil dengan mengambil jarak x ke c cukup kecil, x ≠c; • |f(x)-l| dapat dibuat sebarang kecil dengan mengambil |x-c|yang cukup kecil, x≠c; • |f(x)-l|dapat dibuat lebih kecil dari sebarang ε>0 (ε dibaca epsilon) dengan mengambil |x-c|yang lebih kecil dari suatu bilangan δ>0 (δ dibaca delta), dan x ≠c; xc

• jika ε > 0 diberikan, dapat dicari suatu δ>0 sehingga untuk x yang memenuhi 0<|x-c|<δ berlaku|f(x)- l|< ε; • ε>0δ<0з0<|x_c|<δ|f(x)-l|<ε Definisi formal limit untuk fungsi f yang daerah asalnya memuat selang terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri, lim f(x)= l berarti bahwa ε<<|x- c|<|f(x) - l|<ε Perhitungan limit Misalkan fungsi f dan g memenuhi lim f(x) = L dan lim g(x) = M dengan L dan M bilangan real, maka 1. lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M 2. lim f(x) - g(x) = lim f(x) - lim g(x) = L - M xc xc xc xc xc xc xc xc xc

3. lim kf(x) = k lim f(x) = Kl, k konsatanta sebarang 4. lim (f(x) 3. lim kf(x) = k lim f(x) = Kl, k konsatanta sebarang 4. lim (f(x) . g(x)) = (lim f(x)) ( lim g(x)) = LM 5. lim f(x) = lim f(x) = L/M, berlaku jika M ≠0 6. lim n√f(x) = n√lim f(x)= n√L, n = 2, 3, …;L > 0 untuk n bilangan genap contoh: Hitunglah lim(x2 – 3x) jawab: lim (x2 – 3x)= lim x2 – lim 3x = (lim x).(lim x)- 3lim x = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2 xc xc xc xc xc xc g(x) lim g(x) xc xc xc x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2

Sifat limit: lim f(x) = f(c) diantaranya berlaku pada: ▪ sukubanyak Sifat limit: lim f(x) = f(c) diantaranya berlaku pada: ▪ sukubanyak jika p(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an, maka lim p(x) = lim (a0xn + a1xn-1 + … + an) = a0cn + a1cn-1 + … + an = p(c) ▪ fungsi rasional jika r(x) = p(x)/q(x), p dan q sukubanyak dengan q(x) ≠0, maka lim r(x) =lim p(x)/q(x) =lim p(x)/ lim q(x) = p(c)/q(c0 = r(c) contoh: Hitunglah lim (2x2 – 3x – 2)/(x2 - 4) jawab: lim (2x2 – 3x – 2)/(x2 - 4) = lim ((2x+1)(x-2))/((x+2)(x-2)) = lim (2x+1)/(x+2)= (2.2+1)/(2+2) = 1¼ xc xc xc xc xc xc xc x2 x2 x2 x2

2. Bentuk tak tentu 0/0 cara menghitung bentuk tak tentu 0/0 : ▪ menguraikan faktor di pembilang dan/atau penyebut kemudian dilanjutkan dengan pencoretan dan pemasukan nilai. ▪ mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor sama yang bukan 0/0 kemudian dilanjutkan dengan penyederhanaan/ pemfaktoran, pencoretan, dan pemasukan nilai. Setelah terjadi pencoretan faktor penyebab bentuknya 0/0 sampai penyebutnya tak nol, liitnya dapat dihitung dengan lim p(x)/q(x) = p(c)/q(c) karena sekarang q(c) ≠0 xc