BENTUK PRIMAL DAN DUAL Dalam analisis Program Linear (PL) terdapat 2 bentuk, yaitu : 1. Bentuk Primal, yaitu bentuk asli dari pers. Program linear. 2. Bentuk Dual, yaitu bentuk duplikat atau rangkap dari persamaan program linear. Jika penyelesaian persoalan PL dengan bentuk primal secara langsung juga dapat diketahui hasil bentuk dualnya, sebaliknya jika penyele-saian PL dengan betuk dual, maka secara
langsung juga dapat diketahui hasil bentuk primalnya. Contoh : Bentuk Primal : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3 X1 + 5 X2 2. Fungsi Kendala : 2.1. 2 X1 8 2.2. 3 X2 15 2.3. 3 X1 + 5 X2 30 X1 , X2 0
Bentuk Dual : 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan : G=8 Y1 + 15 Y2 + 30 Y3 2. Fungsi Kendala : 2.1. 2 Y1 + 0 Y2 + 6 Y3 3 2.2. 0 Y1 + 3 Y2 + 5 Y3 5 Y1 , Y2 , Y3 0
MASALAH MINIMISASI Penyelesaian masalah minimisasi PL menggu-nakan langkah-langkah yang sama seperti pada masalah maksimisasi, namun ada bebe-rapa penyesuaian yang harus dibuat. 1. Fungsi kendala dikurangi dengan surplus variabel (S). Surplus variabel yang di- gunakan untuk menampung sumberdaya yang berlebihan. 2. Untuk penyelesaian PL pada masalah mi- nimisasi dengan menggunakan Simpleks M
setiap persamaan fungsi kendala dengan pertidaksamaan kita tambah dengan variabel buatan (artificial variabel) dengan notasi A. 3. Kita harus menyesuaikan persamaan fungsi tujuan akibat pengurangan surplus variabel (S) dan penambahan variabel buatan (A), yaitu dengan metode “INNER PRODUCT RULE” dengan rumus sbb : Cj = (v)(vj) - cj
dimana : Cj = koefisien var.j pada pers. fungsi tujuan (koefisien fungsi tujuan (masalah minimisasi yg dicari). v = vektor baris koefisien fungsi tujuan variabel dasar. vj = vektor kolom elemen dibawah variabel j. cj = koefisien var. j pd fungsi tujuan.
Contoh 1 : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : G =8 Y1 + 15 Y2 + 30 Y3 2. Fungsi Kendala : 2.1. 2 Y1 + 0 Y2 + 6 Y3 3 2.2. 0 Y1 + 3 Y2 + 5 Y3 5 Y1 , Y2 , Y3 0 Langkah-langkah penyelesaian : (1). Perubahan Fungsi Kendala : Semua persamaan fungsi kendala (perti- daksamaan ) harus dikurangi dengan surplus variabel.
Jadi persamaan fungsi kendala diubah sbb : 2.1. 2 Y1 + 0 Y2 + 6 Y3 - S1 = 3 2.2. 0 Y1 + 3 Y2 + 5 Y3 - S2 = 5 Kemudian dilanjutkan dengan penambahan var. buatan (A) pada masing-masing persamaan fungsi kendala : 2.1. 2 Y1 + 0 Y2 + 6 Y3 - S1 + A1 = 3 2.2. 0 Y1 + 3 Y2 + 5 Y3 - S2 + A2 = 5 (2). Perubahan fungsi tujuan (Metode M) G : 8 Y1+15 Y2+30 Y3 -0S1-0S2+MA1+ MA2 = 3 A1: 2 Y1+ 0 Y2+ 6 Y3 - S1-0S2+ A1+ 0A2 = 3 A2: 0 Y1+ 3 Y2+ 5 Y3 -0S1- S2+ 0A1+ A2 = 3
Jadi :
(3). Tabel Simpleks : __________________________________________________________________ Var Y1 Y2 Y3 S1 S2 A1 A2 NK Dasar G (2M-8) (3M-15) (11M-30) -M -M 0 0 8M A1 2 0 6 -1 0 1 0 3 1/2 A2 0 3 5 0 -1 0 1 5 1 G (-5/2M+2) (3M-15) 0 (5/6M-5) -M (-11/6M+5) 0 (5/2M+15) Y1 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 1/2 A2 -5/3 3 0 5/6 -1 -5/6 1 5/2 5/6 ___________________________________________________________________
Hasil iterasi terakhir menunujukkan bahwa tdk ada lagi koefisien fungsi tujuan (G) yang ber- nilai positif, berarti solusi yang dilakukan sudah menunjukkan optimal. Hasil optimal terakhir menunjukkan bahwa : - Kapasitas mesin-1 (Y1) = 0 (tidak digunakan). - Kapasitas mesin-2 (Y2) = 5/6 (5/6x15=12,5 jam). - Kapasitas mesin-3 (Y3) = 1/2 (1/2x30=15 Ketentuan : 1 jam mesin bekerja dikeluarkan biaya = Rp 100.000.-
Jadi : 12,5 x 100.000 = 1.250.000.- 15 x 100.000 = 1.500.000.- Pengeluaran minimum untuk mengoperasi kan mesin-1. Mesin-2, dan mesin-3 adalah sebesar Rp 2.750.000.- Contoh 2 : 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan : Z = -3 X1 + X2 + X3 2. Fungsi Kendala : 2.1. X1 -2 X2 + X3 11 2.2. -4 X1 + X2 +2 X3 3 2.3. 2 X1 + X3 =-1 X1 , X2 , X3 0
Penyelesaian : (1). Perubahan fungsi tujuan : 2.1. X1 -2 X2 + X3 +S1 = 11(+Slack Var.) 2.2. -4X1 + X2 + X3 -S2 = 3 (-Surplus Var.) 2.3. 2X1 -0 X2 - X3 =-1 (dikalikan -1) - 2X1 +0 X2 + X3 = 1 Dilanjutkan dengan menambah var. buatan untuk semua persamaan (2.2) dan (2.3) : 2.1. X1 -2 X2 + X3 +S1 = 11 2.2. -4X1 + X2 + X3 -S2 +A1 = 3 2.3. - 2X1 +0 X2 + X3 +A2 = 1
(2). Perubahan fungsi tujuan : Z : -3X1 + X2 + X3 +0S1 +0S2 +MA1+MA2 = 0 S1 : X1- 2 X2 + X3 + S1 +0S2 +0A1 +0A2 = 11 A1 :- 4X1+ X2 +2X3+0S1 - S2 + A1 +0A2 = 3 A2 :- 2X1+ 0 X2+ X3+0S1 + 0S2 +0A1 +1A2 = 1
______________________________________ (3). Tabel Simpleks ______________________________________ Var X1 X2 X3 S1 S2 A1 A2 NK Dasar __________________________________________________________________ Z (-6M+3) (M-1) (3M-1) 0 -M 0 0 4M S1 1 -2 1 1 0 0 0 11 11 A1 -4 1 2 0 -1 1 0 3 3/2 A2 -2 0 1 0 0 0 1 1 1 Z 1 (M-1) 0 0 -M 0 (1-3M) (M+1) S1 3 -2 0 1 0 0 -1 10 -5 X2 0 1 0 0 -1 1 -2 1 1 X3 -2 0 1 0 0 0 1 1 Z 1 0 0 0 1 (-M+1) (-M+1) 2 S1 3 0 0 1 -2 2 -5 12 4 X2 0 1 0 0 -1 1 -2 1 X3 -2 0 1 0 0 0 1 1 -
-------------------------------------------------------------------------------------------- Z 0 0 0 -1/3 -1/3 (-M+1/3) (-M+2/3) -2 X1 1 0 0 1/3 -2/3 2 -5/3 4 X2 0 1 0 0 -1 1 -2 1 X3 0 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3 9 __________________________________________________________________ Kesimpulan : Dari iterasi ke-3 adalah optimum dimana pada persamaan fungsi tujuan Z semua koefisiennya menunjukkan non positif. Jadi X1 = 4, X2 = 1 dan X3 = 9; S1=0; S2= 0; dan Zminimum= -2.