BAB 10 DISTRIBUSI TEORITIS

Distribusi Teoritis Pada eksperimen statistik seringkali yang lebih menarik perhatian untuk diamati adalah nilai-nilai yang ditentukan oleh titik sampel,bukan titik sampel itu sendiri. Pandanglah kembali ruang sampel S yang menunjukkan semua hasil yang mungkin terjadi dari pelemparan dua uang logam berisi muka (m) dan besisi belakang (b) berikut ini S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)} Pada S kita dapat mengamati kejadian banyaknya muncul muka (m) yang kita sebut sebagai variabel X,dengan memakai relasi X pada S ke himpunan bagian bilangan riil Rx seperti berikut :

B. Distribusi Probabilitas Pada ruang sampel S = {(b,b),(b,m), (m,b),(m,m) yang merupakan kumpulan semua hasil yang mungkin terjadi dari pelemparan dua uang logam tersebut,kita dapat menentukan probabilitas dari nilai-nilai variabel acak X, sebab titik sampel titik sampel S mempunyai nilai probabilitas Pada ruang sampel S tersebut nilai X menyatakan banyaknya muncul muka pada S, dan nilai dari X adalah X = 0, X=1, dan X =2. Nilai X = 0, berkaitan dengan titik sampel (b,b) dengan probabilitas P (X = 0 ) = P {(b,b)} = ¼ Nilai X =1, berkaitan dengan titik sampel (b,m) atau (m,b) dengan probabilitas : P (X=1) = P {(b,m)} + P{(m,b)} = ¼ + ¼ = ½

Nilai X = 2, berkaitan dengan titik sampel (m,m) dengan probabilitas : P(X = 2) = P {(m,m)} = P {m,m)} = ¼ Pasangan nilai-nilai variabel acak X dengan probabilitas dari nilai-nilai X, yaitu P (X=x) dapat dinyatakan dalam Tabel 10.1 seperti berikut : X = x 1 2 P(X=x) ¼ ½

{X1,P(X=x1)},{(x2,P(X=x2)},{x3,P(X=x3)},…………… Bisa juga pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas dari nilai-nilai X, yaitu P(X=x) dituliskan dengan pasangan terurut, yaitu : {X1,P(X=x1)},{(x2,P(X=x2)},{x3,P(X=x3)},…………… Gambar dari distribusi probabilitas X untuk pelemparan dua uang logam di atas adalah sebagai berikut : P(X=x) ¾ 2/4 ¼ 1 2 X

Contoh 10.1 Pada pelemparan tiga uang logam, bila X menyatakan banyaknya muncul muka (m),tentukanlah : Ruang sampel S nilai-nilai variabel acak X; Distribusi probabilitas X; Gambarlah distribusi probabilitas X!

Contoh 10.2 Pada pelemparan dua dadu, misal X adalah kejadian yang menyatakan jumlah 2 dadu, maka distribusi probabilitasnya adalah…?

C. DISTRIBUSI FUNGSI X DAN DISTRIBUSI KUMULATIF X Jika X adalah variabel acak dan P(X=x) adalah distribusi probabilitas dari X, maka fungsi f(x) = P(X=x) disebut fungsi probabilitas X atau fungsi frekuensi X Sedangkan fungsi distribusi kumulatif X adalah F(x):

P(a≤X≤b) = F(b) – F(a)

D. NILAI HARAPAN MATEMATIS Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = P(X = x), maka harapan atau Ekspektasi Matematis X ditulis E(X) adalah: E(X) = ∑xf(x) = ∑xP(X = x), jika X diskrit ∫ +∞ -∞ Xf(x) dx, jika X kontinu Sifat-sifat dari Harapan Matematis: E (c) = c 2. E(bX) = bE(X) 3. E(a + bX) = a + bE(X)

Contoh 10.5. Pada pelemparan dua dadu, tentukan harapan matematis jumlah muka dua dadu!

E. KEGUNAAN NILAI HARAPAN MATEMATIS SALAH SATU MANFAAT YANG SANGAT PENTING DARI HARAPAN MATEMATIS ADALAH UNTUK MENENTUKAN MEAN (μ) DAN STANDAR DEVIASI (σ) DARI PARAMETER POPULASI.

SOAL-SOAL Tentukan mean dan standar deviasi dari banyaknya muka pada pelemparan tiga uang logam! Diketahui variabel acak mempunyai distribusi probabilitas sbb: X 8 12 16 20 24 P(X) ¼ 1/12 1/6 1/8 3/8 Tentukanlah: Mean X Standar deviasi X E { (2X – 3)2 } 3. Jika seseorang membeli sebuah lotere, maka ia dapat memenangkan hadiah pertama sebesar Rp.50.000.000 atau hadiah kedua sebesar Rp.20.000.000 dg probabilitas masing-masing 0,001 dan 0,003. Berapakah Seharusnya harga yang fair untuk lotere tsb?

4. Dalam suatu bisnis, seseorang dpt mendapat keuntungan sebesar Rp. 3 4. Dalam suatu bisnis, seseorang dpt mendapat keuntungan sebesar Rp.3.000.000 dengan probabilitas 0,6 atau menderita kerugian sebesar Rp.1.000.000 dg prob. 0,4. Tentukan nilai harapannya! 5. Suatu pengiriman 6 pesawat televisi, berisi 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli 3 pesawat TV secara acak dari kiriman itu. Bila X menyatakan banyaknya TV rusak yang dibeli, tentukan: a. distribusi prob. X b. nilai harapan X c. simpangan baku X