DERET TAYLOR & ANALISIS GALAT METODE NUMERIK DERET TAYLOR & ANALISIS GALAT

Prinsip perhitungan dalam numerik Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus “tidak ada algoritma untuk segalanya” Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil

OUTLINE Penyajian Bilangan Angka Signifikansi Teorema Deret Taylor Konsep galat

Penyajian bilangan Bilangan ada 2: Eksak Tidak eksak Perhitungan matematika tidak eksak , e, Perhitungan desimal yang berulang 0.3333…. Hasil perhitungan deret tak hingga e Hasil pengukuran

Floating point f.p x = a x bn a = matise (0 ≤ a ≤ 1) b = basis n = eksponen (bilangan bulat) Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10

Desimal dan angka signifikan Misal x = 0.05  2 desimal 1 angka signifikan x = 0.30  2 desimal 2 angka signifikan Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan

Angka Signifikan Komputasi thd suatu bilangan  Bilangan hrs meyakinkan ? Konsep angka signifikan  keandalan sebuah nilai numerik Banyak angka signifikan  banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why? Ketidakpastian kepastian, jk pakai notasi ilmiah How? 0,000123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 0,00123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 12.300  Tidak jelas berapa AS, karena msh ditanyakan nol itu berarti atau tidak…! 1,23 x 104  mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104  mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah) 1,2300 x 104  mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah)

Angka signifikansi Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris :

Angka Signifikan Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan karena selisih 1 strip, dalam kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60. Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh jarum : Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10-1 (0,1) maka diperoleh nilainya 59 atau 59,5.

Dua arti penting angka signifikan “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas”  (kesalahan pembulatan/round-off-error) “AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik”

Aritmatika dalam floating point Penjumlahan /pengurangan Ubah bilangan ke f.p Ubah eksponen mengikuti eksponen yang besar Jumlahkan/kurangkan Sesuaikan desimal/a.s yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103 x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120

Perkalian/pembagian Ubah bilangan ke f.p Untuk perkalian : jumlahkan eksponen dan kalikan matise Untuk pembagian : kurangkan eksponen dan bagikan matise Tulis hasil dalam f.p sesuai dengan desimal yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0. 14 x 100 x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103 = 0.02 x 103 = 20

Akurasi Dan Presisi

Akurasi Dan Presisi Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur. Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai eksak. Misalkan nilai eksak diketahui ½, sedangkan hasil pendekatan adalah 0.500001 maka hasil ini dikatakan akurat bila torelansinya 10-4. Dari keadaan akurat dan presisi ini, akan muncul apa yang dinamakan kesalahan (error).Dalam analisa numerik, dimana penyelesaian dihitung menggunakan nilai-nilai pendekatan, error menjadi hal yang sangat penting dan diperhatikan.

Analisis Galat Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran dengan solusi sejatinya Bagaimana galat timbul Bagaimana menghitung galat

Galat yang ada pada input : Input Proses Output Alur perhitungan Sumber-sumber galat : Galat yang ada pada input : Chopping error Rounding error Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak Input Proses Output

Galat yang ada pada proses : Rambatan galat Rumus/metode/algoritma tidak tepat Kesalahan alat Human error Galat pada output : Chopping error Rounding error

Misal x adalah nilai eksak dan x Misal x adalah nilai eksak dan x* adalah nilai pendekatan/hampiran maka galat  = x – x* Galat absolut ? a = |x – x*| Galat absolut relatif ? Galat relatif sejati r = a 𝑥

Misal nilai sejati 10/3 dan nilai hampiran 3.333 Hitung galat, galat mutlak galat relatif, dan galat hampiran! Galat = 10/3-3.333 = 10/3-3333/1000 = 1/3000= 0.000333… Galat mutlak=|0.000333…| = 0.000333… Galat relatif = (1/3000)/(10/3) = 1/10000 = 0.0001

Galat Relatif Hampiran Dalam praktek tidak diketahui nilai sejati x, karena itu galat seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga sering disebut galat relatif hampiran (ERA) Pendekatan Lelaran (iteration) 𝞮.ra = 𝑎𝑟+1 − 𝑎𝑟 𝑎𝑟+1 Iterasi berhenti jika | ERA| < Es

Contoh soal Misalkan prosedur lelaran Xr+1 = ( −𝑥𝑟 3 +7𝑥𝑟 )/5 Misalkan x0 (nilai sejati dugaan awal) 0.94 dan Es yang diinginkan adalah 0.000065 .berapakah nilai sejati yang dapat dipakai untuk pengukuran?

Deret Taylor Fungsi kompleks  disederhanakan dengan bentuk polinom Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinom menghampiri fungsi sebenarnya Tool untuk membuat polinom hampiran adalah deret taylor

Definisi Andaikan f dan turunannya f’, f’’, f’’’ dst di dalam selang [a,b]. Misalkan x0 𝞮 [𝑎,𝑏] maka untuk nilai nilai x disekitar x0 dan x 𝞮 [𝑎,𝑏] , f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret taylor : 𝑓 𝑥 = 𝑓𝑥0 + (𝑥−𝑥0) 1! 𝑓 ′ 𝑥0 + (𝑥−𝑥0) 2 2! 𝑓 ′′ 𝑥0 +… (𝑥−𝑥0) 𝑚 𝑚! 𝑓 𝑚 𝑥0 +… x x0

Definisi Deret taylor = tak berhingga Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin

contoh Hampiri fungsi f(x) = sin x ke dalam deret taylor di sekitar xo = 1 f(x) = sin x f’(x) = cos x f’’(x) = - sin x f’’’(x) = -cos x Dst…. 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =𝑠𝑖𝑛 1 + 𝑥−1 1! cos⁡(1)+ 𝑥−1 2 2! (− sin 1 )+ 𝑥−1 3 3! (− cos 1 )+…

contoh Bila dimisalkan x-1 = h, maka sin 𝑥 = sin 1 +ℎ cos 1 − ℎ 2 2 sin 1 − ℎ 3 6 cos 1 + ℎ 4 24 sin 1 +.. = 0.8415 + 0.5403h-0.4208 ℎ 2 - 0.0901 ℎ 3 +0.035 ℎ 4 +…

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka -untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu. Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh: yang dalam hal ini, disebut galat atau sisa (residu).

Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dapat ditulis sebagai yang dalam hal ini,

Sebagai contoh, sin(x) pada Contoh 2 Sebagai contoh, sin(x) pada Contoh 2.1 jika dihampiri dengan deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 adalah:

Contoh. Deret MacLaurin

Uraikan cos(x) dalam deret Maclaurin! f(x) = cos(x), f ‘(x) = -sin(x), f “(x) = -cos(x), f “’(x) =sin(x), f’’’’(x) = cos(x), dan seterusnya. Deret Maclaurin =

Deret Taylor & Deret MacLaurin Deret Taylor di titik a Jika a = 0 maka akan menjadi deret MacLaurin

Deret Taylor dan deret MacLaurin dapat digunakan dalam perhitungan untuk mencegah hilangnya angka signifikan Contoh. Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 – 0.5 = 0.02057 (4 a.s) Diperoleh 0.02031 (4 a.s)

Macam-macam galat Chopping error Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta Contoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal x* = 0.378x103 galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103| = 0.000456x103 = 0.456

Round off error Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai Contoh. x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x – x*| = |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

Truncation error Galat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin Contoh.

Galat Pemotongan (Truncation error) Galat pemotongan mengacu pada galat yang ditimbulkan akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak, maksudnya Ekspresi matematika yang kompleks diganti dengan formula yang sederhana Banyak metode numerik diperoleh dengan penghampiran fungsi deret taylor. (pemotongannya pada orde tertentu)

menghampiri galat pemotongan ini dengan rumus suku sisa Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada suatu selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yang diberikan itu, yaitu:

Contoh Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 untuk menghampiri ln(0.9) dan berikan taksiran untuk galat pemotongan maksimum yang dibuat Penyelesaian: Tentukan turunan fungsi f(x) = ln(x) terlebih dahulu f(x) = ln(x)  f(1)=0 f ’(x) = 1/x  f ‘(1)=1 f “(x) = -1/ 𝑥 2 f “(1) = -1 f ‘’’(x) = 2/ 𝑥 3 f ‘’’(1) = 2 𝑓 4 𝑥 =− 6 𝑥 4 → 𝑓 4 1 =−6 𝑓 5 𝑥 = 24 𝑥 5 → 𝑓 5 𝑐 =24/ 𝑐 5

Deret Taylornya adalah

dan nilai Max |24/c5} di dalam selang 0 dan nilai Max |24/c5} di dalam selang 0.9 < c < 1 adalah pada c = 0.9 (dengan mendasari pada fakta bahwa suatu pecahan nilainya semakin membesar bilamana penyebut dibuat lebih kecil), sehingga Jadi ln(0.9) = -0.1053583 dengan galat pemotongan lebih kecil dari 0.0000034.

Galat total Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. Misalnya pada Contoh sebelumnya kita menggunakan deret Maclaurin orde-4 untuk menghampiri cos(0.2) sebagai berikut:

Nested form Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3 f(0.25) = 4.521875 Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4))) f(0.25)=3.896875 Galat yang terjadi 0.625

Hilangnya angka signifikan Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik Contoh. 13 = 13.0000 6 a.s 6 a.s 0.0385 3 a.s