PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010 FITRI UTAMININGRUM, ST, MT LIMIT PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010

DEFINISI LIMIT TEOREMA LIMIT LIMIT FUNGSI LIMIT TAK HINGGA DAFTAR SLIDE DEFINISI LIMIT TEOREMA LIMIT LIMIT FUNGSI LIMIT TAK HINGGA 2

Apakah Tujuan Pertemuan ini ? Mahasiswa diharapkan mampu : Memahami definisi limit Mengetahui teorema-teorema limit Menyelesaikan contoh-contoh soal yang diberikan 3

Perhatikan fungsi di bawah ini : DEFINISI LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini : Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x+2. Jika x mendekati 1 maka nilai-nilai f(x) dapat dilihat pada tabel berikut : Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x mendekati 1, tetapi x kurang dari 1, maka nilai f(x) mendekati 3. demikian juga apabila x mendekati 1, tetapi x lebih besar dari 1, maka f(x) juga mendekati 3. 4

DEFINISI LIMIT Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik pada sistem koordinat kemudian dihubungkan, maka akan diperoleh gambar di bawah ini : 5

DEFINISI LIMIT Misalkan terdapat suatu fungsi y=f(x) dimana a dan L merupakan bilangan riil sedemikian hingga: Bila x dekat denga n a tetapi tidak sama dengan a (xa), f(x) dekat ke L Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) akan mendekati L Misalkan f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L dengan membuat x cukup dekat dengan a tetapi tidak sama dengan a (xa) Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) apabila x mendekati a adalah L 6

DEFINISI LIMIT Pengertian limit secara intuisi : Berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c maka f(x) dekat ke L. 7

Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri) LIMIT – LIMIT SEPIHAK Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri) Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan) jika dan hanya jika 8

LIMIT-LIMIT SEPIHAK Contoh : f(x) = x + 2 9

LIMIT-LIMIT SEPIHAK Contoh : Diketahui f(x) = 10

TEOREMA 1 Contoh : 11

TEOREMA 2 Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka asalkan dalam kasus rasional nilai penyebutnya tidak nol di c. Contoh :c 12

TEOREMA 3 13

CONTOH SOAL Gunakan teorema 2 untuk menyelesaikan persoalan berikut : 14

CONTOH SOAL 15

LATIHAN SOAL Gunakan teorema 2 untuk menyelesaikan persoalan berikut : 16

LIMIT FUNGSI 17

LIMIT FUNGSI Apabila hasil substitusi langsung merupakan bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan memfaktorkannya. Contoh Soal : Berapa hasil nilai limit berikut? 18

JAWAB CONTOH SOAL LIMIT

JAWAB CONTOH SOAL 20

LATIHAN SOAL 21

LIMIT FUNGSI Cara kedua yang dapat dilakukan apabila hasil substitusi berbentuk adalah mengalikan fungsi tersebut dengan sekawan pembilang atau penyebut baru kemudian disubstitusi kan lagi. Contoh Soal : 22

JAWAB

CONTOH SOAL

CONTOH SOAL 25

LIMIT TAK HINGGA Limit tak berhingga adalh konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. Konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x ∞) atau peubah x yang mengecil tanpa batas (x-∞) yang dikenal sebagai limit di tak hingga. 26

LIMIT TAK HINGGA Perhatikan limit berikut : Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada tabel di bawah ini : Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai menjadi semakin besar. x f(x) 1 −1 0,5 4 −0,5 0,01 10.000 −0,01 0,0001 100.000.000 −0,0001 0,000005 40.000.000.000 −0,000005 27

LIMIT TAK HINGGA Grafik fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah ini : nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. 28

LIMIT TAK HINGGA Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) dimana x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis: Definisi (i). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c, maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif. (ii). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c, maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif. 29

LIMIT TAK HINGGA Contoh : Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan -1, maka nilai menjadi semakin besar. Jadi X f(x) f(x-) -0,9 10 −1,1 -0,99 100 −1,01 -0,999 1.000 −1,001 -0,9999 10.000 −1,0001 -0,99999 100.000 −1,00001 30

LIMIT TAK HINGGA 31

LIMIT TAK HINGGA Tabel di bawah ini memperlihatkan nilai untuk berbagai nilai x. Dari tabel terlihat semakin besar nilai x (arah positif), nilai f(x) semakin kecil mendekati nol. Sedangkan apabila nilai x semakin besar (arah negatif) maka f(x) juga akan mendekati nol . dalam hal ini dikatakan : x 10 0,1 −1 1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001 5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002 100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001 32

LIMIT TAK HINGGA Contoh Soal : 33

LIMIT TAK HINGGA Karena hasil limit berupa maka dapat diselesaikan dengan : Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut. CONTOH 34

JAWAB LATIHAN SOAL

CONTOH SOAL 36

JAWAB LIMIT TAK HINGGA

CONTOH SOAL 38

JAWAB LIMIT TAK HINGGA

LATIHAN SOAL Hitunglah : 40