Kalkulus Multivariate Elly Ismiyah, ST., MT

Materi Kuliah Fungsi dua variabel atau lebih Fungsi bernilai vektor Integral lipat Fungsi dua variabel Turunan parsial order tinggi Limit dan kekontinuan Teorema taylor Turunan parsial dan turunan Masalah maksimum dan minimum Aljabar turunan dan aturan rantai Integral lipat dua Integral lipat dua atas daerah sebarang Pemakaian integral Integral lipat tiga Perubahan variabel di integral lipat

Buku Acuan : Kontrak kuliah Tugas/kuis : 25 % UTS : 30 % UAS : 35 % Kalkulus peubah banyak dan penggunaanya W.S. Budhi_ITB_2001 Kontrak kuliah Tugas/kuis : 25 % UTS : 30 % UAS : 35 % Kehadiran : 10 %

Fungsi beberapa variabel Variabel = Peubah = Perubah Contoh : - Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan tinggi (h): V =  r2 h. f merupakan fungsi dari 2 variabel(perubah) x dan y: f(x,y) = x + y, x, y, f(x,y)  R Fungsi 4 perubah: Sejumlah panas (A) dilepaskan ke udara pada waktu t=0 dalam suatu medium dg difusi k, maka suhu (T) di titik (x,y,z) pada saat t > 0 adalah

Fungsi dua variabel Fungsi dua variable umum diketahui dan dikenal: Tekanan atmosfir disekitar suatu pulau adalah fungsi dari longitudinal dan ketinggian di atas permukaan air laut. Fungsi sebuah bidang persegi adalah fungsi dari panjang dan lebar bidang tersebut f(p,l) = p l Fungsi volume sebuah tabung adalah fungsi dari jari-jari alasnya dan ketinggian tabung tersebut f (r,h) = π r2 h Pada senar gitar, posisi suatu titik sejauh x pada saat t dapat dimodelkan untuk selang waktu singkat sebagai f(x,t)=A sin(x) cos(t)

Definisi: Fungsi dua variabel terdefinisi pada bidang domain D adalah suatu aturan pemetaan dimana setiap titik (x,y) di dalam D berasosiasi dengan satu bilangan real(nyata) z=f(x,y) R. Contoh : Tentukan domain fungsi Menentukan domain: hindari akar bilangan negatif hindari pembagian dengan 0 Range dari fungsi dua perubah membentuk suatu permukaan.

Ilustrasi Grafik f : D  , (x,y)D dan z = f(x,y)  pada bidang S. Z S c d f : D  , (x,y)D dan z = f(x,y)  pada bidang S.

Visualisasi fungsi dua variabel sulit, dibutuhkan tehnik2 sistematis. Fungsi dua variable dapat dimengerti melalui Tabel Plot daripada peta kontur Plot daripada irisan kurva permukaan Plot kurva permukaan

Peta Kontur Misalkan f(x,y) fungsi dg dua perubah; dan c adl konstanta. Himpunan semua titik (x,y) dimana fgs bernilai c: {(x,y)| f(x,y) = c} disebut kurva tingkat dari fungsi f. Himpunan kurva2 tingkat disebut peta kontur.

Kontur dari f(x,y) = x + y

Soal: Gambarlah kurva tingkat z = k untuk nilai2 k yang diberikan:

Soal: Gambarlah kurva tingkat z = k untuk nilai2 k yang diberikan:

Grafik 3-D dari

Grafik 3-D dari

Permukaan paraboloid z = g(x,y) = x2 + y2

Permukaan paraboloid z = g(x,y) = x2 + y2 dan peta konturnya