Pendugaan Parameter

Pendugaan Parameter A. Pendahuluan Seringkali parameter dari suatu populasi tidak diketahui meskipun barangkali distribusi populasi diketahui. Misalkan, suatu populasi diketahui mempunyai distribusi normal, tetapi parameter rata-rata µ dan simpangan baku σ tidak diketahui; atau misalkan suatu populasi diketahui mempunyai distribusi binomial, tetapi parameter proporsi p tidak diketahui. Pendugaan Parameter

Pendugaan Parameter Oleh karena parameter populasi tidak diketahui itulah, maka dalam statistika interensia dipelajari bagaimana cara mengetahui parameter tersebut. Ada dua cara yang dipelajari dalam statistika interensia untuk mengetahui parameter populasi, yaitu dengan cara pendugaan (penaksiran) dan dengan cara pengujian hipotesis. Dua cara ini didasarkan pada statistik atau besaran yang dihitung dari sampel sehingga kita harus mengambil sampel dari suatu populasi. Pendugaan Parameter

Teori & Aplikasi Statistik & Probabilitas Gambar 1 Telah dijelaskan juga bahwa agar kita memperoleh gambaran yang baik dan tepat mengenai parameter populasi, maka sampel yang diambil harus merupakan sampel yang representatif. Pada Gambar 1, parameter pnpulasi ditulis dengan huruf latin ө (baca theta), di mana ө bisa berupa rata-rata populasi, yaitu µ, bisa berupa -simpangan baku populasi, yaitu σ, dan bisa berupa proporsi populasi, yaitu p. Statistik dari sampel ditulis dengan huruf (baca theta topi), di mana bisa berupa rata-rata sampel, yaitu ,

bisa berupa simpangan baku, yaitu S, dan bisa berupa proporsi sampel, yaitu Dalam statistika inferensia, statistik inilah yang dipakai untuk menduga paramater ө dari populasi, tepatnya adalah sebagai berikut: Statistik = dipakai untuk menduga parameter ө = µ Statistik = S dipakai untuk menduga parameter ө = σ Statistik = dipakai untuk menduga parameter ө = p

parameter dari suatu populasi bersifat teoritis atau abstrak karena sering tidak diketahui dan sulit disentuh, sedangkan statistik dari sampel bersifat empiris atau nyata karena dapat dihitung dari sampel. Oleh karena itu. seringkali populasi disebut sebagai suatu model teoritis, sedangkan sampel disebut model empiris

B. PENDUGA YANG BAlK Oleh karena tujuannya adalah untuk memperoleh gambaran yang baik mengenai populasi, maka statistik yang dipakai untuk menduga parameter ө haruslah merupakan penduga yang baik, yaitu penduga yang mempunyai tiga ciri berikut ini. 1. merupakan penduga tak bias dari ө, yaitu E ( ) = ө artinya harapan penduga sama dengan ө ; 2. merupakan penduga yang efisien; artinya bila ada lebih dari satu penduga, maka penduga yang efisien adalah penduga yang mempunyai variansi paling kecil; dan 3. merupakan penduga yang konsisten; artinya bila sampel yang diambil makin besar, maka nilai akan semakin mendekati nilai ө .

Sebagai gambaran, pandanglah gambar berikut ini yang berkaitan dengan tiga ciri penduga yang baik tersebut. Penduga tak bias, E ( ) = ө Penduga bias E( ) ө

Penduga tak bias artinya penduga yang dengan tepat mengenai sasaran, seperti ditunjukkan oleh Gambar 2. Sedangkan penduga bias artinya penduga yang tidak tepat mengenai sasaran atau disebut meleset, seperti ditunjukkan oleh Gambar 3.

2. Penduga yang Efisien Gambar 4 Gambar 4 menunjukkan ada tiga penduga, yaitu 1, 2, dan 3 yang diperoleh dari tiga sampel, di mana distribusi sampel 1 mempunyai variansi , sampel 2 mempunyai variansi dan sampel 3 mempunyai variansi . Oleh karena sampel 1 mempunyai variansi paling kecil, maka dikatakan merupakan 1 penduga yang efisien.

3. Penduga yang Kontisten Pada Gambar 5, ditunjukkan bahwa ukuran sampel 1, yaitu n1, 1ebih kecil daripada ukuran sampel 2, yaitu n2 clan 1ebih kecil dari ukuran sampel 3, yaitu n3. Terlihat bahwa makin besar ukuran sampel, maka statistik penduga makin mendekati parameter ө dari populasi, di mana distribusi sampel konsisten bergerak ke kiri.

C. Pendugaan Titik Kita mengenal dua jenis pendugaan, yaitu pendugaan titik dan pendugaan interval. Bila nilai parameter ө dari populasi hanya diduga dengan memakai satu nilai statistik dari sampel yang diambil dari populasi tersebut, maka statistik pendugaan titik.

Secara umum statistik berikut ini merupakan penduga titik dari parameter populasi. 1. = ∑ X adalah penduga titik untuk µ n S2 = ∑ (X- )2 adalah penduga titik untuk σ2 n - 1 Proporsi = X adalah penduga titik untuk p = X n N

D. PENDUGAAN INTERVAL Bila nilai parameter ө dari populasi diduga dengan memakai beberapa nilai statistik yang berada dalam suatu interval, katakanlah interval 1 < ө < 2, maka statistik disebut penduga interval. Rumus 1. di mana: α disebut koefisien kepercayaan 1 - α disebut derajat kepercayaan P( 1< ө < 2) disebut interval kepercayaan

E. PENDUGAAN PARAMETER POPULASI DENGAN SAMPEL BESAR Bila pada suatu populasi diambil sampel acak yang besar, maka statistik akan mempunyai distribusi normal, sehingga dapat ditransformasi menjadi distribusi normal standar. Dengan demikian, penentuan interval kepercayaan parameter memakai suatu nilai yang diperoleh dari tabel distribusi kumulatif normal standar.

Untuk beberapa derajat kepercayaan atau tingkat kepercayaan, nilai-nilai dapat dilihat pada Tabel 1 berikut ini. TABEL 1 Derajat keper-cayaan 99.73% 99% 98% 96 % 95,45% 95% 90% 80% 68,2% 50% 3,0 2.8 2.33 2,05 2,00 1,96 1,645 1,28 1,00 0,6745

1. Pendugaan Parameter µ Misalkan diberikan populasi terbatas atau tak terbatas di mana simpangan baku σ diketahui. Kita tahu bahwa rata-rata adalah penduga tak bias untuk µ. Bila diambil sampel berukuran cukup besar secara berulang, maka distribusi sampel rata-rata akan mempunyai simpangan baku

interval kepercayaan untuk pendugaan parameter µ bila σ diketahui : = rata-rata distribusi sampel rata-rata = nilai dari tabel distribusi normal kumulatif = simpangan baku distribusi sampel rata-rata = koofiseien kepercayaan

Bila merupakan penduga untuk µ, maka dapat dipercaya (1 - α) x 100% bahwa kesalahannya akan lebih dari suatu besaran tertentu e yang ditetapkan sebelumnya dengan syarat yaitu:

2. Pendugaan Parameter Proporsi (p) Bila suatu populasi berukuran N mengandung jenis tertentu dengan proporsi p = dan pada populasi itu diambil secara berulang sampel berukuran n yang mengandung jenis tertentu dengan proporsi = X N X N

Oleh karena proposi p pada populasi tidak diketahui dan akan diduga dengan proporsi pada sampel, maka simpangan baku pd rumus diatas dpt diganti dengan :

Bila proporsi dipakai untuk menduga proporsi p, maka kita dapat percaya (1 - α) x 100% bahwa kesalahan duga untuk p (e) akan lebih kecil dari , atau: dan kesalahan dugaan tersebut akan lebih kecil dari kesalahan tertentu e bila diambil sampel sebesar:

3. Pendugaan Parameter Beda Dua Rata-Rata (µ1, µ2) Misalkan kita mempunyai dua populasi, populasi pertama mempu­nyai rata-rata µ1 dan simpangan baku σ1 ; sedangkan populasi kedua mempunyai rata-rata µ2 dan simpangan baku σ2 Di mana :

4. Pendugaan Parameter Beda Dua Proporsi (P1 - P2) Misalkan kita mempunyai dua populasi. Populasi pertama mengandung jenis tertentu dengan proporsi P1= dan populasi kedua mengandung jenis tertentu dengan proporsi P2 = Rumus 9 Di mana : X1 N1 X2 N2

F. PENDUGAAN PARAMETER POPULASI DENGAN SAMPEL KECIL Semua rumus pendugaan parameter populasi yang telah dibahas hanya berlaku untuk sampel acak berukuran besar, yaitu n > 30. Pendugaan itu berlaku untuk populasi berdistribusi normal maupun tidak normal. Dalam hal sampel yang kita ambil jumlahnya kecil, ternyata distribusi dari statistik tersebut merupakan distribusi student yang ditulis t, yaitu:

Pembagi yang muncul pada rumus variansi S2, yaitu n- 1 disebut derajat kebebasan yang ditulis = n - 1. Kurva distribusi t untuk beberapa derajat kebebasan disajikan pada Gambar 7 berikut ini.

1. Pendugaan Parameter µ Dengan Sampel Kecil interval kepercayaan untuk pendugaan parameter µ dengan sampel kecil (n < 30) yang diambil dari suatu populasi di mana variansi σ2 dari populasi itu tidak diketahui: Rumus 10:

Pendugaan Parameter Beda Dua Rata-Rata ( µ1 - µ1 ) dengan Sampel Kecil Misalkan diketahui dua populasi masing-masing mempunyai rata­rata µ1 dan µ2 dan distribusinya mendekati normal. Misalkan variansi dua populasi itu sama, yaitu, tetapi t!dak . diketahui berapa besarnya. Kita ambil sampel acak berukuran n1 dari populasi pertama kemudian dihitung rata-ratanya, yaitu dan variansinya yaitu Begitu juga kita ambil sampel acak berukuran n2 dari populasi kedua kemudian dihitung rata-ratanya, yaitu dan variansinya .Andaikan sampel pertama dan sam pel kedua saling bebas, maka interval kepercayaan untuk pendugaan parameter beda dua rata-rata ( µ1 - µ1 ) dari dua populasi itu adalah:

Rumus 11

Akan tetapi, bila variansi dua populasi itu tidak sama besarnya, yaitu dan kedua variansi tidak diketahui nilainya, maka interval kepercayaan untuk pendugaan parameter beda dua rata­rata (µ1 - µ1) dari dua populasi itu berubah menjadi: