BAB 9 DIMENSI TIGA

STANDAR KOMPETENSI 6. Menetukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

KOMPETENSI DASAR 6.1 Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga 6.2 Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga 6.3 Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

INDIKATOR Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam ruang Menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang

INDIKATOR Menentukan jarak titik ke titik dalam ruang Menentukan jarak titik ke garis dalam ruang Menentukan jarak titik ke bidang dalam ruang Menentukan jarak bangun-bangun sejajar dalam ruang Menentukan jarak dua garis bersilangan dalam ruang

INDIKATOR Menentukan besar sudut antara dua garis bersilangan dalam ruang Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dalam ruang Menentukan besar sudut antara dua bidang dalam ruang

A. Pengertian Titik, Garis, dan Bidang Titik tidak mempunyai ukuran Titik tidak mempunyai panjang, lebar, tinggi, sehingga dikatakan berdimensi nol Titik dilukiskan dengan tanda noktah, lalu dibubuhi nama titik Nama sebuah titik menggunakan huruf kapital, seperti A, B, P, atau Q Contoh titik Q A B • • •

Ruas garis AB mempunyai panjang yaitu jarak titik A ke titik B 2. Pengertian Garis Ruas garis AB mempunyai panjang yaitu jarak titik A ke titik B Garis mempunyai panjang tak hingga, digambar hanya untuk mewakilinya saja, garis yang tergambar masih bisa diperpanjang Contoh garis • C B • • A ruas garis AB ≠ ruas garis BC garis AB = garis BC, karena bila diperpanjang mewakili garis yang sama

Daerah mempunyai luas tertentu 3. Pengertian Bidang Daerah mempunyai luas tertentu Bidang mempunyai luas tak terbatas, hanya dapat digambar perwakilan bidang tersebut Contoh Bidang D C A B Daerah ABC ≠ daerah ABCD Bidang ABC = bidang ABCD, Karena bila diperluas akan mewakili bidang yang sama

B. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang 1. Kedudukan Titik terhadap Garis Titik terletak pada garis Titik terletak di luar garis B • g • A Pada gambar Titik A terletak pada garis g dan garis g melalui titik A Titik B terletak di luar garis g dan garis g tidak melalui titik B

2. Kedudukan Titik terhadap Bidang Titik terletak pada bidang F Titik terletak di luar bidang E D C α A B Pada gambar Titik A, B, C, D terletak pada bidang α dan bidang α melalui titik A, B, C, D Titik E, F terletak di luar bidang α dan bidang α tidak melalui titik E, F

Contoh soal Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini, tentukanlah kedudukan: a. titik A terhadap rusuk AB, AD, dan AE b. titik C terhadap diagonal AC, AH, dan CH c. titik F terhadap bidang ABFE, CDHG, dan BDHF d. titik H terhadap bidang ABCD, BCHE, dan ACGE Jawab a. titik A terletak pada AB, AD, dan AE b. titik C terletak pada diagonal AC, CH dan terletak di luar diagonal AH c. titik F terletak pada bidang ABFE, BDHF dan terletak di luar bidang CDHG d. titik H terletak pada bidang BCHE dan terletak diluar bidang ABCD, ACGE

Kedudukan Antara Dua Garis Tidak sebidang Sebidang Bersilangan Sejajar 0 titik persekutuan Berpotongan 1 titik persekutuan Berimpit ∞ titik persekuatuan

Garis PQ berimpit dengan garis QR • Jika dua garis mempunyai dua titik persekutuan maka kedua garis tersebut berimpit • R Pada gambar di samping Q • Garis PQ berimpit dengan garis QR • P D C Jika dua garis hanya mempunyai satu titik persekutuan maka kedua garis tersebut berpotongan. Kedua garis tersebut sebidang. • • A B Pada gambar di atas Garis AC berpotongan dengan garis BD Garis AD berpotongan tegak lurus dengan garis AB

Perhatikan gambar di samping! Jika dua garis terletak sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan maka kedua garis tersebut sejajar D P Q C Perhatikan gambar di samping! A B Garis AD sejajar dengan garis BC, tetapi garis AP tidak sejajar garis BQ F Jika dua garis tidak sebidang maka kedua garis tersebut bersilangan β E Perhatikan gambar di samping! D C α Garis AB bersilangan dengan garis ED Garis AB bersilangan tegak lurus dengan garis EF dan DF A B

Contoh soal Dari gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini, Tentukan kedudukan garis AB terhadap: a. Garis AC d. Garis EG b. Garis AD e. Garis EH c. Garis EF Jawab a. Garis AB dan garis AC berpotongan di titik A. b. Garis AB dan garis AD berpotongan tegak lurus di titik A c. Garis AB dan garis EF sejajar d. Garis AB dan garis EG bersilangan e. Garis AB dan garis EH bersilangan tegak lurus

Kedudukan Garis terhadap Bidang Sejajar 0 titik persekutuan Berpotongan 1 titik persekutuan Terletak pada ∞ titik persekuatuan

A B C D H E F G Garis dan bidang sejajar jika tidak mempunyai titik persekutuan Pada gambar di samping Garis FG sejajar dengan bidang ABCD Garis dan bidang berpotongan jika mempunyai satu titik persekutuan. Titik ini disebut titik potong atau titik tembus • Pada gambar di samping Garis EC berpotongan dengan bidang ABCD Garis terletak pada bidang jika garis dilalui oleh bidang Pada gambar di samping Garis AB terletak pada bidang ABCD

Kedudukan antara Dua Bidang Sejajar 0 garis persekutuan Berpotongan 1 garis persekutuan Berimpit ∞ garis persekuatuan

A B C D H E F G Dua bidang sejajar jika kedua bidang tidak mempunyai garis persekutuan Pada gambar di samping Bidang ADHE sejajar dengan bidang BCGF Dua bidang berpotongan jika kedua bidang mempunyai satu garis persekutuan Pada gambar di samping Bidang ADHE berpotongan dengan bidang ABCD. Dengan AD sebagai garis persekutuan Dua bidang berimpit jika terletak pada bidang yang sama Pada gambar di samping Bidang ABCD berimpit dengan bidang ABC.

C. Jarak Pada Bangun Ruang 1. Jarak Titik ke Titik Jarak titik A ke titik B adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A ke titik B B Panjang ruas garis AB dihitung dengan memandang ruas garis AB sebagai sisi segitiga Jarak dua titik Kemudian panjang sisi tersebut diselesaikan dengan teorema pythagoras A

Contoh soal A B C D H E F G Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak: Titik A ke titik C Titik A ke titik G 6 cm

H G E F D C A B Jawab 6 cm Perhatikan segitiga ABC! ABC Siku-siku di B Jarak titik A ke C adalah 6 cm Perhatikan segitiga ACG! ACG Siku-siku di C Jarak titik A ke G adalah

Dari pembahasan sebelumnya dapat diperoleh bahwa panjang diagonal sisi kubus adalah rusuk dikalikan akar 2 Misalkan panjang rusuk a cm, maka panjang diagonal sisinya adalah cm Dan panjang diagonal ruang kubus adalah rusuk dikalikan akar 3 Misalkan panjang rusuk a cm, maka panjang diagonal sisinya adalah cm

2. Jarak Titik ke Garis P Jarak titik ke garis g P’ Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P ke garis g Jarak titik ke garis Diperoleh dengan menarik garis dari titik P tegak lurus terhadap garis g seperti terlihat pada gambar di samping ini. Jadi, jarak titik P ke garis g adalah PP’. g P’

Contoh soal A B C D H E F G Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Tentukan jarak titik A ke garis CE 6 cm

H G E F A’ D C A B Jawab 6 cm Perhatikan segitiga ACE! Karena AC merupakan diagonal sisi dan AG diagonal ruang kubus, maka panjang AC = dan AG = A B C D H E F G A’ Dengan perbandingan segitiga maka diperoleh 6 cm Jadi, jarak titik A ke garis CE adalah

 g 3. Jarak Titik ke Bidang Garis tegak lurus bidang Garis g tegak lurus bidang V artinya garis g tegak lurus terhadap semua garis yang terletak pada bidang V g  V

 P P’ Garis tegak lurus bidang Jarak titik P ke bidang V adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P ke bidang V Pada gambar di samping ruas garis terpendek tersebut adalah PP’  P’ V

Contoh soal A B C D H E F G Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 4 cm, AD = 3 cm, dan AE = 5 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang ACGE! 5 cm 3 cm 4 cm

H G E F D C B’ A B Jawab 5 cm 3 cm 4 cm Bidang ABCD melalui titik B dan tegak lurus AE salah satu rusuk bidang ACGE A B C D H E F G Sehingga AC merupakan perpotongan bidang ABCD dengan ACGE 5 cm Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B B’ Jarak titik B ke bidang ACGE diwakili oleh BB’ dengan kesamaan luas segitiga ABC, maka 3 cm 4 cm

• 4. Jarak Bangun-bangun Sejajar Jarak bangun-bangun sejajar meliputi jarak dua garis sejajar, jarak garis dan bidang sejajar, dan jarak dua bidang sejajar Jarak dua garis sejajar P Jarak dua garis sejajar adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua garis secara tegak lurus • g h

g Jarak garis dan bidang sejajar Jarak garis dan bidang sejajar adalah panjang ruas garis yang menghubungkan garis dan bidang secara tegak lurus V

Jarak dua bidang sejajar W W Jarak dua bidang sejajar adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua bidang secara tegak lurus Jarak Dua Bidang V

Contoh soal A B C D H E F G Panjang rusuk-rusuk balok ABCD.EFGH adalah AB = 4 cm, AD = 3 cm, dan AE = 5 cm. Tentukan jarak: Garis BE dengan CH Garis EG dengan bidang ABCD Bidang ADHF dengan Bidang BCGF 5 cm 3 cm 4 cm

H G E F D C A B Jawab a. Karena BC tegak lurus garis BE dan CH Jadi jarak garis BE dengan garis CH adalah 3 cm 5 cm 3 cm 4 cm

H G E F D C A B Jawab b. Karena EA tegak lurus garis EG dan ABCD Jadi jarak EG dan bidang ABCD adalah 5 cm 5 cm 3 cm 4 cm

H G E F D C A B Jawab c. Karena AB tegak lurus bidang ADHE dan BCGF Jadi jarak bidang ADHE dan BCGF adalah 4 cm 5 cm 3 cm 4 cm

• 5. Jarak Dua Garis Bersilangan Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua garis secara tegak lurus P α k • l

Contoh soal A B C D H E F G Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 3 cm. Tentukan jarak garis AE ke garis BC 3 cm

H G E F D C A B Jawab Karena AB tegak lurus garis AE dan BC Jadi jarak garis AE dengan garis BC adalah 3 cm 3 cm

D. Sudut pada Bangun Ruang Sudut pada bangun ruang adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh dua garis berpotongan. h Pada gambar di samping, jadi sudut yang dibentuk oleh garis g dan h adalah 50o 130o 50o g Sudut antara dua garis sejajar dan berpotongan sangat mudah diselesaikan. Sehingga yang dijelaskan ialah sudut antara dua garis bersilangan.

1. Sudut antara Dua Garis Bersilangan Jika garis g dan h bersilangan, maka sudut yang mewakili sudut antara garis g dan h adalah sudut yang dibentuk oleh suatu garis dengan garis h dimana garis tersebut sejajar dengan garis g dan memotong garis h. g' h Pada gambar di samping agar terbentuk sudut garis g diwakili oleh garis g’ karena sejajar garis g dan berpotongan dengan garis h

Contoh soal A B C D H E F G Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut antara garis AH dan BC.

Jawab A B C D H E F G Garis BG adalah garis yang sejajar dengan garis AH dan memotong garis BC. α Karena segitiga BCG segitiga siku-siku sama kaki, maka α = 45o

P Q P’ 2. Sudut antara Garis dan Bidang Sudut antara garis g dan bidang V dilambangkan (g,V) adalah sudut antara garis g dan proyeksinya pada V. Sudut antara garis PQ dengan V sudut antara PQ dengan P’Q =  PQP’ P Q V P’

Contoh soal A B C D H E F G Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut antara garis AH dan bidang BDHF.

Jawab A B C D H E F G Garis TH adalah proyeksi garis AH pada bidang BDHF α Perhatikan segitiga ATH! ATH Merupakan segitiga siku-siku, siku-siku di T sehingga T sin α = α = 30o sin α = Jadi, sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah 30o

3. Sudut antara Dua Bidang Cara melukis sudut dua bidang g k u Lukis garis g yang merupakan perpotongan bidang u dan v v Lukis garis k di u dan l di v yang tegak lurus garis g h Sehingga terbentuk sudut antara bidang u dan v

Contoh soal A B C D H E F G Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika sudut bidang BDG dan ABCD adalah α, tentukan nilai tan α

Jawab Garis BD merupakan perpotongan bidang BDG dan ABCD A B C D H E F G Garis GT pada BDG dan CT pada ABCD yang tegak lurus terhadap BD T α Sehingga sudut yang terbentuk adalah sudut CTG = α Jadi, nilai

Latihan Kerjakan latihan 1 sampai dengan latihan 3

TUGAS Kerjakan uji latih pemahaman 9A dan 9B