LINGKARAN

MATERI  Garis singgung lingkaran a. Garis singgung persekutuan di dalam b. Garis singgung persekutuan di luar  Lingkaran dalam dan luar segitiga a. Lingkaran dalam segitiga b. Lingkaran luar segitiga

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

GARIS SINGGUNG LINGKARAN  Garis AB merupakan garis singgung lingkaran pada titik B, sehingga jari-jari OB tegak lurus terhadap garis singgung AB, maka panjang OA dapat dihitung dengan teorema Pythagoras.

B A O • OA2 = OB2 + AB2 AB2 = OA2 - OB2 OB2 = OA2 - OA2

Garis Singgung Persekutuan dalam B AB = Garis singgung persekutuan dalam MN = Garis pusat persekutuan

AB adalah garis singgung persekutuan dalam. AB = CN AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2

Garis Singgung Persekutuan Luar M   N A B AB = Garis singgung persekutuan luar MN = Garis pusat persekutuan

AB adalah garis singgung persekutuan luar. AB = CN M   N A B C r1 r2 AB adalah garis singgung persekutuan luar. AB = CN AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

Lingkaran Dalam & Lingkaran Luar

Lingkaran Dalam segitiga O D E F C B r a c b

A O D E F C B r a c b Titik pusat lingkaran dalam adalah titik perpotongan garis bagi sudut sudut segitiga. Keliling ∆ ABC = a + b + c = 2s Jadi, keliling segitiga = 2s atau s = ½ ( a + b + c ).

Luas segitiga = ½ alas x tinggi , atau =  s(s – a )(s – b)(s – c ) Jika jari-jari lingkaran dalam adalah r, maka : r = Luas : ½ keliling atau r = L/s AF = AE = s - a BF = BD = s - b CE = CD = s - c

Lingkaran Luar segitiga C A O R B 

Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong garis sumbu sisi-sisi segitiga OA = OB=OC = jari-jari lingkaran luar. Jika jari-jari lingkaran luar adalah R, maka : R = abc / 4L atau , R = abc : 4L

Latihan Soal

Soal 1 Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari-jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB. B A O •

Pembahasan : Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B AB2 = OA2 - OB2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 AB = √ 144 = 12 cm. Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

Soal 2 Jika : AM = 6 cm , BN = 3 cm dan MN = 15 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : AB2 = MN2 -( r1 + r2 )2 = 152 - ( 6 + 3 )2 = 152 - ( 6 + 3 )2 = 225 – 81 = 144 AB = √ 144 = 12 cm

Soal 3 Jika : AM =13 cm , BN = 6 cm dan MN = 25 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2 = 252 - ( 13 - 6 )2 = 252 - ( 13 - 6 )2 = 625 – 49 = 576 AB = √ 576 = 16 cm

Pada gambar di samping, panjang PQ = 9 cm, QR = 15 cm. Soal 4 P Q R T U S O • Pada gambar di samping, panjang PQ = 9 cm, QR = 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari OU.

Pembahasan : PQ = 12 cm dan QR = 15 cm PR2 = QR2 - PQ2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 PR =  81 = 9 cm

Pembahasan : PQ = 12 cm, QR = 15 cm dan PR = 9 cm Rd = Luas ABC : ½ keliling = ( ½ x PQ x PR ) : ½ ( PQ + PR + QS ) = ( ½ x 12 x 9 ) : ½ ( 12 + 9 + 15 ) = 54 : 18 = 3 cm. Jadi, panjang jari-jarinya adalah 3 cm.

Cara cepat : PQ = 12 cm dan QR = 15 cm PR2 = QR2 - PQ2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 PR =  81 = 9 cm Rd = ½ ( PQ + PR – QR ) = ½ ( 12 + 9 – 15 ) = 3 cm.

Pada gambar di samping, panjang PQ =10 cm, panjang QR = PR = 13 cm. Soal 5 Pada gambar di samping, panjang PQ =10 cm, panjang QR = PR = 13 cm. Hitunglah panjang jari-jari OP. P Q R O •

Pembahasan : PQ = 10 cm dan PR = QR = 13 cm RS2 = PR2 - PS2 = 132 - 52 O • S PQ = 10 cm dan PR = QR = 13 cm RS2 = PR2 - PS2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 PR =  144 = 12 cm

Jadi, jari-jarinya adalah : 7,04 cm. P Q O • S RL = ( abc ) : 4 L = ( 10 x 13 x 13 ) : ( 4 x ½ x 10 x 12 ) = 1690 : 240 = 7,04 cm Jadi, jari-jarinya adalah : 7,04 cm.

Soal 6 Pada gambar di samping, panjang PQ =8 cm, PR = 15 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran luar. P Q R O •

Pembahasan : PQ = 8 cm dan PR = 15 cm QR2 = PQ2 + PR2 = 152 + 82 O • PQ = 8 cm dan PR = 15 cm QR2 = PQ2 + PR2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 QR =  289 = 17 cm

Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 8,5 cm. PQ = 8 cm, PR = 15 cm dan QR = 17 cm Rd = ½ QR = ½ x 17 = 8,5 cm. Jadi panjang jari-jari lingkaran adalah 8,5 cm. P Q R O •

Soal 7 Jika : AM = 7 cm , BN = 3 cm dan AB = 24 cm Tentukan jarak kedua pusatnya (MN).

Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm. Pembahasan : M   N A B MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2 = 242 + ( 7 + 3 )2 = 576 + 100 = 676 MN = √ 676 = 26 cm Jadi, jarak titik pusatnya = 26 cm.

Soal 8 Jika : AM =4 cm , BN = 2 cm dan MN = 10 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : AB2 = MN2 -( r1 - r2 )2 = 102 - ( 4 - 2 )2 = 100 – 4 = 96 = 102 - ( 4 - 2 )2 = 100 – 4 = 96 AB = √ 96 = 9,79 Jadi, panjang AB = 9,79 cm.

Soal 9 Jika : AM = 7 cm , MN = 26 cm dan AB = 24 cm Tentukan panjang jari-jari BN.

Pembahasan : MN2 = AB2 + ( r1 + r2 )2 262 = 242 + ( 7 + r )2 Jadi, jari-jari BN adalah 3 cm.

Soal 10 Jika : BN = 2 cm , AB = 12 cm dan MN = 13 cm Tentukan panjang AM.

Pembahasan : ( r1 - r2 )2 = MN2 - AB2 ( r1 - 2 )2 = 132 - 122 ( r1 - 2 )2 = 169 - 144 = 25 ( r1 - 2 ) =  25 r1 - 2 = 5 r1 = 5 + 2 = 7 Jadi, panjang jari-jari AM = 7 cm.

Catatan Khusus  Jika AB garis singgung persekutuan dalam. maka : AB2 = MN2 - ( r1 + r2 )2  Jika AB garis singgung persekutuan luar. maka : AB2 = MN2 - ( r1 - r2 )2

Terima Kasih..