DERET FOURIER: Fungsi Periodik, Deret Fourier, Differensial dan Integral Deret Fourier Tim Kalkulus 2

Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f(x+P) = f(x); P adalah konstanta positif Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau disebut perioda dari f(x).

Contoh: Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4, 6,…karena sin (x+2) = sin (x+4)= sin (x+6) =…=sin x Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2/n Periode dari tan x adalah  Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif

Contoh gambar dari fungsi-fungsi periodik f(x) x periode f(x) x periode

Kontinuitas Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)

Contoh gambar kontinuitas f(x) x x1 x2 x3 x4

Definisi Deret Fourier Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:

dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh:

Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka dengan C sembarang bilangan real. Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).

Syarat / Kondisi Dirichlet Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/ kondisi Dirichlet Teorema: Jika f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L) f(x) periodik dengan periode 2L f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).

maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke : 1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L) 2. jika x adalah titik diskontinu

Contoh: Tentukan deret Fourier dari dan bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5)

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x) untuk setiap x. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x) untuk setiap x. Contoh: 1. Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka

2. Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range) a. Deret fourier dari fungsi genap: Jika f(x) fungsi genap maka bn=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari an)

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range) b. Deret fourier dari fungsi ganjil: Jika f(x) fungsi ganjil maka an=0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari bn)

Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: a. f(x) fungsi ganjil b. Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: a. f(x) fungsi genap

Contoh Ekspansikan f(x)=x; 0<x<2 ke dalam; a. Deret sinus setengah jangkauan b. Deret cosinus setengah jangkauan

DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL DARI DERET FOURIER Theorema Deret fourier f(x) diintegrasikan dari a sampai x dan menghasilkan deret yang akan konvergen seragam terhadap yang dibuktikan oleh f(x) kontinu pada interval -L ≤ x ≤ L dimana a dan x berada pada interval tersebut

Terima Kasih